Penaksir kemungkinan maksimum untuk minimum distribusi eksponensial

Saya terjebak pada bagaimana mengatasi masalah ini.

Jadi, kita memiliki dua urutan variabel acak, $X_i$ dan $Y_i$ untuk $i=1,...,n$ . Sekarang, $X$ dan $Y$ adalah distribusi eksponensial independen dengan parameter $\lambda$ dan $\mu$ . Namun, alih-alih mengamati $X$ dan $Y$ , kita amati bukan $Z$ dan $W$ .

$Z=\min(X_i,Y_i)$ $W=1$ $Z_i=X_i$ $Z_i=Y_i$ $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

Sekarang, saya tahu bahwa minimum dua eksponensial independen itu sendiri eksponensial, dengan laju yang sama dengan jumlah kurs, jadi kita tahu bahwa $Z$ eksponensial dengan parameter $\lambda+\mu$ . Jadi penaksir kemungkinan maksimum kami adalah: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ .

Tapi saya terjebak dengan ke mana harus pergi dari sini. Saya tahu bahwa adalah distribusi Bernoulli dengan parameter , tetapi saya tidak tahu bagaimana cara mengubahnya menjadi pernyataan tentang salah satu parameter. Misalnya, apa yang akan diestimasi oleh MLE dalam kaitannya dengan dan / atau ? Saya mengerti bahwa jika , maka , tapi saya mengalami kesulitan mencari tahu cara membuat pernyataan aljabar, di sini. $W$ $p=P(Z_i=X_i)$ $\bar{W}$ $\lambda$ $\mu$ $Z_i=X_i$ $\mu=0$

UPDATE 1: Jadi saya telah diberitahu di komentar untuk menurunkan kemungkinan untuk distribusi gabungan dari dan . $Z$ $W$

Jadi mana . Benar? Saya tidak tahu bagaimana lagi mendapatkan distribusi bersama dalam kasus ini, karena dan tidak independen. $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ $p=P(Z_i=X_i)$ $Z$ $W$

Jadi ini memberi kita, , dengan definisi atas. Tapi sekarang bagaimana? Ini tidak membuat saya kemana-mana. Jika saya melalui langkah-langkah menghitung kemungkinan, saya mendapatkan: (menggunakan dan sebagai ukuran sampel untuk setiap bagian dari campuran ...) $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Jika saya mengambil derivatif parsial, ini memberitahu saya bahwa MLE saya memperkirakan untuk dan hanya rata-rata dari 's tergantung pada . Itu adalah, $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

dan

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

— Ryan Simmons
sumber

Baru saja menjawab pertanyaan MLE yang serupa hari ini, dapatkah saya mengarahkan Anda ke solusi itu untuk beberapa ide? Hubungan antara pertanyaan adalah bahwa data Anda juga dipecah secara alami menjadi dua kelompok terpisah: yang mana dan yang mana . Semuanya bermula untuk menuliskan kemungkinan pengamatan bentuk ; simetri antara dan , dan , segera menghasilkan kemungkinan untuk data formulir dan kemudian Anda pergi dan berjalan.

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

(z, 1)

$(z,1)$

— whuber

Jangan terburu-buru menulis kemungkinan maksimal! Pertama, ungkapkan distribusi gabungan , kemudian simpulkan kemungkinan yang terkait dengan sampel , yang kebetulan berbentuk tertutup berkat asumsi eksponensial. Kemudian dan hanya kemudian Anda dapat mencoba untuk memaksimalkan fungsi dan karenanya memperoleh kemungkinan maksimum.

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

— Xi'an

@whuber: (+1) memang agak mudah dan melibatkan pemisahan antara dan tetapi kedua kelompok melibatkan kedua dan , karena mereka membawa informasi pada kedua dan , karena .

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

— Xi'an

@ Xi'an Itu benar - dan paralel dengan contoh teori-Normal yang saya tautkan terus berlanjut, karena di sana kedua kelompok memberikan informasi tentang parameter umum (skala), yang perkiraannya akan melibatkan data "penyatuan" dari kelompok. Di sini akan terlihat bahwa memberi tahu kita bagaimana perkiraan (laju, atau skala terbalik, untuk ) harus dibagi ke dalam perkiraan terpisah dari dan .

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

— whuber

Saya sudah membaca utas lainnya, whuber, tapi sejujurnya saya tidak mengerti bagaimana menerapkannya pada contoh ini. Z dan W tidak independen, jadi bagaimana cara mendapatkan distribusi bersama?

— Ryan Simmons

Saya tidak punya cukup poin untuk berkomentar, jadi saya akan menulis di sini. Saya pikir masalah yang Anda posting dapat dilihat dari perspektif analisis survival, jika Anda mempertimbangkan hal berikut:

$X_i$ : Waktu survival sejati,

$Y_i$ : Menyensor waktu,

Keduanya memiliki distribusi eksponensial dengan dan independen. Kemudian adalah waktu bertahan hidup yang diamati dan indikator penyensoran. $X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

Jika Anda terbiasa dengan analisis survival, saya yakin Anda bisa mulai dari titik ini.

Catatan: Sumber yang baik: Analisis Data Kelangsungan Hidup oleh DRCox dan D.Oakes

Di bawah ini adalah contohnya: Mengasumsikan pdf dari distribusi waktu survival adalah . Maka fungsi survival adalah: . Dan kemungkinan log-nya adalah: $f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

dengan penjumlahan atas orang yang tidak disensor ( ) dan orang yang disensor ( ) masing-masing. $u$ $c$

Karena fakta bahwa mana h (t) adalah fungsi bahaya, ini dapat ditulis: $f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

Dan penaksir kemungkinan maksimum dari adalah: $\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ mana adalah jumlah total kasus $d$ $W_i=1$

— jujae
sumber