Apakah mean = median menyiratkan bahwa distribusi unimodal simetris?

Untuk distribusi unimodal, jika mean = median maka apakah cukup untuk mengatakan bahwa distribusi simetris?

Wikipedia mengatakan dalam hubungan antara mean dan median:

"Jika distribusinya simetris maka nilai tengahnya sama dengan median dan distribusinya akan memiliki nol kemiringan. Jika, selain itu, distribusinya adalah unimodal, maka mean = median = mode. Ini adalah kasus lemparan koin atau seri 1,2,3,4, ... Perhatikan, bagaimanapun, bahwa kebalikannya secara umum tidak benar, yaitu nol skewness tidak menyiratkan bahwa rata-rata sama dengan median. "

Namun, tidak terlalu lurus ke depan (bagi saya) untuk mendapatkan informasi yang saya butuhkan. Tolong bantu.

Berikut ini adalah contoh kecil yang tidak simetris: -3, -2, 0, 0, 1, 4 adalah unimodal dengan mode = median = rata-rata = 0.

Sunting: Contoh yang lebih kecil adalah -2, -1, 0, 0, 3.

Jika Anda ingin membayangkan variabel acak daripada sampel, ambil dukungan sebagai {-2, -1, 0, 3} dengan fungsi massa probabilitas 0,2 pada semuanya kecuali untuk 0 di mana itu adalah 0,4.

Ini dimulai sebagai komentar tetapi tumbuh terlalu lama; Saya memutuskan untuk membuatnya menjadi lebih banyak jawaban.

Jawaban bagus Alexis berkaitan dengan pertanyaan langsung (singkatnya: i. Yang secara logis tidak berarti ; dan ii. Pernyataan sebaliknya sebenarnya salah pada umumnya), dan Silverfish memberikan contoh tandingan.${A\implies B}$$B\implies A$

Saya ingin berurusan dengan beberapa masalah tambahan dan menunjukkan beberapa jawaban luas yang sudah ada di sini yang terkait sampai batas tertentu.

1. Pernyataan pada halaman Wikipedia yang Anda kutip juga tidak sepenuhnya benar. Misalnya, perhatikan distribusi Cauchy, yang tentu saja simetris tentang mediannya, tetapi yang tidak memiliki nilai rata-rata. Pernyataan itu membutuhkan kualifikasi seperti 'asalkan mean dan skewness ada'. Bahkan jika kita menguranginya menjadi pernyataan yang lebih lemah di paruh pertama kalimat pertama, itu masih perlu "asalkan berarti ada".

2. Pertanyaan Anda sebagian mengkonfigurasi simetri dengan nol kemiringan (saya berasumsi Anda bermaksud kemiringan saat ketiga, tetapi diskusi serupa dapat ditulis untuk langkah-langkah kemiringan lainnya). Memiliki 0 skewness tidak menyiratkan simetri. Bagian selanjutnya dari kutipan Anda dan bagian dari Wikipedia yang dikutip oleh Alexis menyebutkan ini, meskipun penjelasan yang diberikan dalam kutipan kedua dapat menggunakan beberapa penyesuaian.

Jawaban ini menunjukkan bahwa hubungan antara kemiringan momen ketiga dan arah hubungan antara mean dan median lemah (kemiringan momen ketiga dan kemiringan Pearson kedua tidak perlu sesuai).

Butir 1. pada jawaban ini memberikan contoh tandingan diskrit, mirip dengan tetapi berbeda dari yang diberikan oleh Silverfish.

Sunting: Saya akhirnya menggali contoh unimodal yang sebenarnya saya cari sebelumnya.

Dalam jawaban ini saya menyebutkan keluarga berikut:

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) [1 -\alpha \sin(x^{1/4})]$

Mengambil dua anggota tertentu (katakanlah densitas biru dan hijau dalam contoh spesifik di jawaban tertaut itu, yang masing-masing memiliki , dan ), dan membalikkan satu tentang x- sumbu dan mengambil campuran 50-50 dari keduanya, kita akan mendapatkan kepadatan asimetris unimodal dengan semua momen ganjil nol:α = $\alpha=0$$\alpha=\frac{_1}{^2}$

(garis abu-abu menunjukkan kerapatan biru terbalik pada sumbu x untuk membuat asimetri polos)

Whuber memberikan contoh lain di sini dengan nol kemiringan yang kontinu, unimodal dan asimetris. Saya telah mereproduksi diagramnya:

yang menunjukkan contoh dan hal yang sama membalik tentang mean (untuk menunjukkan dengan jelas asimetri) tetapi Anda harus membaca yang asli, yang berisi banyak informasi berguna.

[Jawaban Whuber di sini memberikan keluarga distribusi asimetris yang berkelanjutan dengan semua momen yang sama. Trik yang sama "pilih dua, balikkan satu dan ambil campuran 50-50" memiliki hasil asimetris yang sama dengan semua momen ganjil nol, tetapi saya pikir itu tidak memberikan hasil yang sama sekali berbeda di sini (walaupun mungkin ada beberapa contoh). ]

Jawabannya di sini membahas hubungan antara mean, median dan mode.

Jawaban ini membahas tes hipotesis simetri.

Tidak.

Jika, sebagai tambahan, distribusinya adalah unimodal, maka mean = median = mode.

Dengan cara yang sama bahwa "Jika hewan bayi adalah seekor ayam, maka asalnya adalah telur" tidak menyiratkan bahwa "Jika asal usulnya adalah telur, maka hewan bayi adalah seekor ayam."

Dari artikel Wikipedia yang sama:

Dalam kasus di mana satu ekor panjang tetapi ekor lainnya gemuk, kemiringan tidak mematuhi aturan sederhana. Sebagai contoh, nilai nol menunjukkan bahwa ekor di kedua sisi rata-rata menyeimbangkan, yang merupakan kasus untuk distribusi simetris, dan untuk distribusi asimetris di mana asimetri keluar, seperti satu ekor panjang tetapi kurus, dan lainnya pendek tapi gemuk.

Contoh menarik dan mudah dipahami berasal dari distribusi binomial.

Berikut adalah probabilitas binomial untuk 0 (1) 5 keberhasilan dalam 5 percobaan ketika probabilitas keberhasilan adalah 0,2. Langsung bahwa rata-ratanya adalah 0,2 5 1, yang diperiksa probabilitas juga sebagai median dan mode (tunggal), tetapi distribusinya jelas tidak simetris. Ada banyak contoh lain dari binomial miring dengan rata-rata bilangan bulat positif.$\times$$=$

            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

Kode stata untuk tampilan ini mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)'mungkin dan sesederhana atau sesederhana dalam perangkat lunak statistik apa pun yang layak disebut.

Sebagai masalah psikologi daripada logika, contoh ini tidak dapat secara meyakinkan diberhentikan sebagai patologis (seperti dalam masalah lain orang mungkin mengabaikan distribusi yang saat-saat tertentu bahkan tidak ada) atau sebagai contoh aneh atau sepele yang dibuat untuk tujuan tersebut (seperti misalnya data yang ditemukan dijelaskan oleh @Silverfish atau 0, 0, 1, 1, 1, 3).