Mengapa kurtosis pada distribusi normal adalah 3 bukannya 0

Apa yang dimaksud dengan pernyataan bahwa kurtosis dari distribusi normal adalah 3. Apakah itu berarti bahwa pada garis horizontal, nilai 3 sesuai dengan probabilitas puncak, yaitu 3 adalah mode sistem?

Ketika saya melihat kurva normal, sepertinya puncaknya terjadi di tengah, alias di 0. Jadi mengapa kurtosisnya bukan 0 dan sebaliknya 3?

normal-distribution moments kurtosis

— Pemenang
sumber

Seperti yang ditulis @Glen_b, koefisien "kurtosis" telah didefinisikan sebagai momen standar keempat: Kebetulan untuk distribusi normal, jadi . The kelebihan kurtosis biasanya dilambangkan dengan adalah . Perawatan harus diambil karena kadang-kadang penulis menulis "kurtosis" dan artinya "kurtosis berlebih".

β_{2} = \frac{E [(X - μ)^{4}]}{(E [(X - μ)^{2}])^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}

${\beta_2=}\frac{\operatorname{E}[(X-{\mu})^4]}{(\operatorname{E}[(X-{\mu})^2])^2} {=} \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

μ_{4} = 3 σ^{4}

$\mu_4 = 3\sigma^4$

β_{2} = 3

$\beta_2= 3$

γ_{2}

$\gamma_2$

γ_{2} = β_{2} (Normal) - 3

$\gamma_2 = \beta_2(\text{Normal}) -3$

— Alecos Papadopoulos

Re: Komentar saya sebelumnya. Ekspresi yang benar untuk koefisien kelebihan kurtosis adalah

γ_{2} = β_{2} - β_{2} (Normal) = β_{2} - 3

$\gamma_2 = \beta_2 - \beta_2(\text{Normal}) = \beta_2 - 3$

— Alecos Papadopoulos

Kurtosis tentu bukan lokasi di mana puncaknya. Seperti yang Anda katakan, itu sudah disebut mode.

Kurtosis adalah momen keempat terstandarisasi: Jika , adalah versi standar dari variabel yang kita lihat, maka kurtosis populasi adalah kekuatan keempat rata-rata dari variabel standar; . Kurtosis sampel terkait dengan kekuatan keempat rata-rata dari seperangkat nilai sampel standar (dalam beberapa kasus ini diskalakan oleh faktor yang masuk ke 1 dalam sampel besar). $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ $E(Z^4)$

Seperti yang Anda perhatikan, momen standar keempat ini adalah 3 dalam kasus variabel acak normal. Seperti yang dicatat oleh Alecos dalam komentar, beberapa orang mendefinisikan kurtosis sebagai ; itu kadang-kadang disebut kelebihan kurtosis (ini juga kumulant keempat). Ketika melihat kata 'kurtosis', Anda perlu mengingat kemungkinan ini bahwa orang yang berbeda menggunakan kata yang sama untuk merujuk pada dua jumlah yang berbeda (tetapi berkaitan erat). $E(Z^4)-3$

Kurtosis biasanya digambarkan sebagai memuncak * (katakanlah, seberapa tajam puncaknya melengkung - yang mungkin maksudnya memilih kata "kurtosis") atau berekor berat (sering kali orang tertarik menggunakannya untuk mengukur), tetapi dalam Sebenarnya, momen standar keempat yang biasa tidak cukup mengukur kedua hal itu.

Memang, volume pertama Kendall dan Stuart memberikan contoh tandingan yang menunjukkan bahwa kurtosis yang lebih tinggi tidak selalu terkait dengan puncak yang lebih tinggi (dalam variabel standar) atau ekor yang lebih gemuk (dalam cara yang agak mirip bahwa momen ketiga tidak cukup mengukur berapa banyak orang) pikir itu).

Namun dalam banyak situasi ada beberapa kecenderungan untuk dikaitkan dengan keduanya, di mana puncaknya yang lebih besar dan ekor yang berat sering cenderung terlihat ketika kurtosis lebih tinggi - kita hanya harus berhati-hati berpikir bahwa memang demikian halnya.

Kurtosis dan skewness sangat terkait (kurtosis harus setidaknya 1 lebih dari kuadrat skewness; interpretasi kurtosis agak lebih mudah ketika distribusinya hampir simetris.

masukkan deskripsi gambar di sini

Darlington (1970) dan Moors (1986) menunjukkan bahwa ukuran momen keempat dari kurtosis adalah efek variabilitas tentang "bahu" - , dan Balanda dan MacGillivray (1988) menyarankan untuk memikirkannya dalam istilah yang samar-samar terkait dengan pengertian itu ( dan pertimbangkan beberapa cara lain untuk mengukurnya). Jika distribusi terkonsentrasi erat tentang , maka kurtosis (tentu) kecil, sedangkan jika distribusi tersebar jauh dari (yang akan cenderung menumpuknya secara bersamaan di tengah dan memindahkan probabilitas ke ekor di Untuk memindahkannya dari bahu), kurtosis momen keempat akan menjadi besar. $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$

De Carlo (1997) adalah tempat awal yang masuk akal (setelah lebih banyak sumber daya dasar seperti Wikipedia) untuk membaca tentang kurtosis.

$E(Z^4)$ $E(Z^2)$ $(-1,1)$ ); dan sebaliknya - jika Anda menaruh lebih banyak beban di tengah sambil menahan varians di 1, Anda juga menaruh beberapa di bagian ekor.

[NB seperti yang dibahas dalam komentar ini tidak benar sebagai pernyataan umum; diperlukan pernyataan yang agak berbeda di sini.]

Efek varians ini dipertahankan konstan langsung terhubung ke diskusi tentang kurtosis sebagai "variasi tentang bahu" dalam makalah Darlington dan Moors. Hasil itu bukan beberapa gagasan-tangan, tetapi kesetaraan matematika sederhana - orang tidak bisa menganggapnya sebaliknya tanpa salah menggambarkan kurtosis.

$(-1,1)$ $(-1,1)$

[Dimasukkannya saya Kendall dan Stuart dalam referensi adalah karena diskusi mereka tentang kurtosis juga relevan dengan poin ini.]

Jadi apa yang bisa kita katakan? Kurtosis sering dikaitkan dengan puncak yang lebih tinggi dan dengan ekor yang lebih berat, tanpa harus menjadi layu. Tentu saja lebih mudah untuk mengangkat kurtosis dengan bermain dengan ekor (karena itu mungkin untuk mendapatkan lebih dari 1 sd jauhnya) kemudian menyesuaikan pusat untuk menjaga varians konstan, tetapi itu tidak berarti bahwa puncak tidak memiliki dampak; itu pasti, dan seseorang dapat memanipulasi kurtosis dengan berfokus padanya. Kurtosis sebagian besar tetapi tidak hanya terkait dengan berat ekor - sekali lagi, lihat variasi tentang hasil bahu; jika sesuatu itulah yang dilihat oleh kurtosis, dalam pengertian matematis yang tak terhindarkan.

Referensi

Balanda, KP dan MacGillivray, HL (1988),
"Kurtosis: Sebuah tinjauan kritis."
Statistik Amerika 42 , 111-119.

Darlington, Richard B. (1970),
"Apakah Kurtosis Benar-benar" Memuncak? "."
Statistik Amerika 24 , 19-22.

Moors, JJA (1986),
"Arti dari kurtosis: Darlington diperiksa ulang."
Statistik Amerika 40 , 283-284.

DeCarlo, LT (1997),
"Tentang arti dan penggunaan kurtosis."
Psikol. Metode, 2 , 292-307.

Kendall, MG, dan A. Stuart,
Teori Statistik Lanjutan ,
Vol. 1, 3rd Ed.
(edisi yang lebih baru memiliki Stuart dan Ord)

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

0

$0$

3

$3$

Artikel Westfall tentang kurtosis, berjudul Kurtosis as Peakedness, 1905-2014 RIP patut dipertimbangkan. Ini mengkritik DeCarlo (antara lain bahkan yang tercantum di atas) untuk menyebarkan pengetahuan tentang kurtosis sebagai peakedness ukuran Link disini: ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753

— Lil'Lobster

@Lil saya pikir Westfall melebih-lebihkan kasusnya. Dengan (hampir) sepenuhnya berfokus pada ekor yang berat, dia benar-benar salah. Sementara kurtosis dikaitkan sangat kuat dengan ekor yang berat, kurtosis terbukti bukan ekor yang berat (contoh tandingan di mana ekor yang lebih berat pergi dengan kurtosis yang lebih rendah mudah ditemukan, seperti yang dicakup dalam beberapa referensi di atas; mereka juga mudah dibuat). Kurtosis dikaitkan kurang kuat dengan puncaknya tetapi masih ada hubungan di sana; dengan menegaskan bahwa ini bukan puncaknya, dia terlalu jauh dalam kritiknya (kritik serupa berlaku untuk kesimpulannya sendiri). ...

— ctd

Glen_b, kamu dan aku sama-sama suka matematika. Jika Anda akan mengkritik saya karena "melebih-lebihkan kasus saya", tolong beri saya argumen matematis Anda yang menghubungkan kurtosis Pearson dengan "peakedness".

— Peter Westfall

Gelen_b, komentar Anda "Ini berarti bahwa pergerakan probabilitas lebih jauh ke ekor harus disertai dengan beberapa lebih dalam mu + - sigma dan sebaliknya - jika Anda meletakkan lebih banyak beban di tengah sambil memegang varians pada 1, Anda juga menaruh beberapa di ekor "Adalah salah. Itu tidak boleh. Anda dapat menjaga probabilitas (bahkan seluruh distribusi) di dalam mu + - sigma konstan dan meningkatkan kurtosis hingga tak terbatas dalam kelompok distribusi parametrik tertentu. Lihat di sini: math.stackexchange.com/questions/167656/…

— Peter Westfall

Berikut adalah visualisasi langsung untuk memahami apa yang mengacu pada angka "3" sehubungan dengan kurtosis distribusi normal.

$X$ $Z = (X-\mu)/\sigma$ $V = Z^4$ $V$ $p_V(v)$

$X$ $p_V(v)$

$X$ $p_V(v)$ $X$ $p_V(v)$ $X$

$p_V(v)$

Dari sudut pandang ini, penafsiran "bobot ekor" yang pada dasarnya benar dari kurtosis mungkin lebih khusus dikarakteristikkan sebagai "pengungkit ekor" untuk menghindari membingungkan "peningkatan bobot ekor" dengan "peningkatan massa di ekor." Bagaimanapun, ada kemungkinan bahwa kurtosis yang lebih tinggi sesuai dengan massa yang lebih sedikit di ekor, tetapi di mana massa yang berkurang ini menempati posisi yang lebih jauh.

"Beri aku tempat untuk berdiri, dan aku akan memindahkan bumi." -Archimedes

— Peter Westfall
sumber