Proses stokastik adalah proses yang berkembang seiring waktu, jadi apakah ini benar-benar cara yang lebih bagus untuk mengatakan "rangkaian waktu"?

Karena banyak perbedaan yang meresahkan muncul dalam komentar dan jawaban, mari merujuk ke beberapa otoritas.

James Hamilton bahkan tidak mendefinisikan rangkaian waktu, tetapi ia jelas tentang apa itu:

... himpunan angka ini hanya satu kemungkinan hasil dari proses stokastik yang mendasari yang menghasilkan data. Memang, bahkan jika kita membayangkan telah mengamati proses untuk periode waktu yang tak terbatas, tiba di urutan urutan tanpa batas akan masih dipandang sebagai realisasi tunggal dari proses deret waktu. ...{ y t } ∞ t = ∞ = { ... , y - 1 , y 0 , y 1 , y 2 , ... , y T , y T + 1 , y T + 2 , ... , } , { y t } ∞ t = $T$

$$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$

Bayangkan baterai ... komputer menghasilkan urutan , dan pertimbangkan untuk memilih pengamatan yang terkait dengan tanggal dari masing-masing urutan: Ini akan digambarkan sebagai contoh realisasi dari variabel acak . ...{ y ( 1 ) t } ∞ t = - ∞ , { $I$$\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ {y ( I ) t } ∞ t = - ∞ t{y ( 1 ) t ,y ( 2 ) t ,...,y ( I $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$$t$AkuY

$$\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$$ $I$$Y_t$

( Analisis Rangkaian Waktu , Bab 3.)

Jadi, "proses deret waktu" adalah serangkaian variabel acak diindeks oleh bilangan bulat .$\{Y_t\}$$t$

Dalam Persamaan Diferensial Stokastik, Bernt Øksendal memberikan definisi matematis standar dari proses stokastik umum:

Definisi 2.1.4. Sebuah proses stokastik adalah kumpulan parametrized variabel acak didefinisikan pada ruang probabilitas dan dengan asumsi nilai dalam . ( Ω , F , P ) R

$$\{X_t\}_{t\in T}$$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$

Ruang parameter biasanya (seperti dalam buku ini) setengahnya , tetapi bisa juga berupa interval , bilangan bulat non-negatif, dan bahkan himpunan bagian dari untuk .[ 0 , ∞ ) [ a , b ] R n n ≥ $T$$[0,\infty)$$[a,b]$$\mathbb{R}^n$$n\ge 1$

Menyatukan keduanya, kita melihat bahwa proses deret waktu adalah proses stokastik yang diindeks oleh bilangan bulat.

Beberapa orang menggunakan "deret waktu" untuk merujuk pada realisasi proses deret waktu (seperti dalam artikel Wikipedia ). Kita dapat melihat dalam bahasa Hamilton upaya yang masuk akal untuk membedakan proses dari realisasi dengan menggunakan "proses deret waktu", sehingga ia dapat menggunakan "deret waktu" untuk merujuk pada realisasi (atau bahkan data).

$\left\{X_t\right\}$

Mendefinisikan proses stokastik

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$S$$\mathbb{R}$

• $\Omega$$S$
• $t$
  • $t \in \mathcal{T}$$X_t$
  • $\omega \in \Omega$$X(\omega)$$X$

Menentukan deret waktu

Sedangkan proses stokastik memiliki definisi matematis yang jernih. Rangkaian waktu adalah gagasan yang kurang tepat, dan orang-orang menggunakan rangkaian waktu untuk merujuk pada dua objek yang terkait tetapi berbeda:

1. Seperti yang dideskripsikan WHuber, proses stokastik diindeks oleh bilangan bulat atau satuan waktu tambahan secara teratur yang dalam arti dapat dipetakan dengan bilangan bulat (mis. Data bulanan).
2. Kumpulan data yang diamati secara berkala. Ini bisa menjadi realisasi dari proses stokastik yang diindeks oleh bilangan bulat. Terkadang ini disebut sebagai data deret waktu.

Contoh: dua lemparan taktik

$\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$$X_1, X_2$

$\{X_1, X_2\}$$X$$X(\omega_{HH}) = (H, H)$

Perbedaan antara proses stokastik dan seri waktu agak seperti perbedaan antara kucing pada keyboard dan jawaban di Stack Exchange: Kucing pada keyboard dapat menghasilkan jawaban, tetapi kucing pada keyboard bukan jawaban. Selain itu, tidak setiap jawaban dihasilkan oleh kucing di keyboard.

Rangkaian waktu dapat dipahami sebagai kumpulan pasangan titik waktu-nilai-data. Proses stokastik di sisi lain adalah model matematika atau deskripsi matematika dari distribusi deret waktu¹. Beberapa deret waktu merupakan realisasi dari proses stokastik (dari jenis apa pun). Atau, dari sudut pandang lain: Saya dapat menggunakan proses stokastik sebagai model untuk menghasilkan deret waktu.

Lebih lanjut, deret waktu juga dapat dihasilkan dengan cara lain:

• Mereka bisa menjadi hasil pengamatan dan karenanya dihasilkan oleh kenyataan. Sementara saya dapat memodelkan realitas sebagai proses stokastik (saya juga bisa mengatakan bahwa saya menganggap realitas sebagai proses stokastik), kenyataan bukanlah proses stokastik dengan cara yang sama bahwa interior kotak bukanlah sekumpulan titik (walaupun kita sering sering anggap dua ekuivalen dalam konteks pemodelan).

• $x=2$

^{¹ Jika ini adalah proses stokastik diskrit waktu. Proses stokastik kontinu adalah distribusi fungsi daripada deret waktu.}

Saya menghargai semua kontribusi diskusi / komentar tentang masalah seri Time vs proses Stochastic. Inilah pemahaman saya tentang perbedaan: Rangkaian waktu adalah fenomena yang diamati, dicatat sebagai serangkaian angka yang diindeks dengan waktu saat pengamatan; kemungkinan besar serangkaian pengamatan dari fenomena kehidupan nyata seperti harga saham di Bursa Efek New York. Di sisi lain, proses stokastik selalu dipahami sebagai representasi matematis (bukan produksi) dari deret waktu.