Kovarian dan kemerdekaan?

54

Saya membaca dari buku teks saya bahwa tidak menjamin X dan Y independen. Tetapi jika mereka independen, kovarian mereka harus 0. Saya belum bisa memikirkan contoh yang tepat; bisakah seseorang menyediakannya? $\text{cov}(X,Y)=0$

independence covariance

— Babi terbang
sumber

10

Anda juga dapat menikmati ulasan singkat dari Anscombe's Quartet , yang mengilustrasikan beberapa dari banyak cara berbeda di mana kovarians bukan nol tertentu dapat diwujudkan dengan dataset bivariat.

— whuber

7

Yang perlu diperhatikan adalah bahwa ukuran kovarians adalah ukuran linearitas .. Menghitung kovarians adalah menjawab pertanyaan 'Apakah data membentuk pola garis lurus?' Jika data memang mengikuti pola linier, oleh karena itu mereka tergantung. TETAPI, ini hanya satu cara di mana data dapat bergantung. Ini seperti bertanya, 'Apakah saya mengemudi sembarangan?' Satu pertanyaan mungkin adalah 'Apakah Anda bepergian 25 mph di atas batas kecepatan?' Tapi itu bukan satu-satunya cara mengemudi dengan sembrono. Pertanyaan lain adalah 'Apakah kamu mabuk?' dll. Ada lebih dari satu cara mengemudi dengan sembrono.

— Adam

Apa yang disebut ukuran linearitas memberikan struktur pada hubungan. Yang penting hubungan itu bisa non-linear yang tidak jarang. Secara umum, kovarians bukan nol, ini hipotetis. Kovarians menunjukkan besarnya dan bukan rasio,

— Subhash C. Davar

48

Contoh mudah: Misalkan menjadi variabel acak yaitu atau dengan probabilitas 0,5. Kemudian biarkan menjadi variabel acak sehingga jika , dan adalah acak atau dengan probabilitas 0,5 jika . $X$ $-1$ $+1$ $Y$ $Y=0$ $X=-1$ $Y$ $-1$ $+1$ $X=1$

Jelas dan sangat tergantung (karena mengetahui memungkinkan saya untuk benar-benar tahu ), tetapi kovarian mereka nol: Mereka berdua memiliki rata-rata nol, dan $X$ $Y$ $Y$ $X$

\begin{aligned} E [X Y] & = & (- 1) & \cdot & 0 & \cdot & P (X = - 1) \\ + & 1 & \cdot & 1 & \cdot & P (X = 1, Y = 1) \\ + & 1 & \cdot & (- 1) & \cdot & P (X = 1, Y = - 1) \\ = & 0. \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}[XY] &=&(-1) &\cdot &0 &\cdot &P(X=-1) \\ &+& 1 &\cdot &1 &\cdot &P(X=1,Y=1) \\ &+& 1 &\cdot &(-1)&\cdot &P(X=1,Y=-1) \\ &=&0. }$

Atau lebih umum, ambil distribusi dan sehingga untuk semua (yaitu, distribusi gabungan yang simetris di sekitar sumbu ), dan Anda akan selalu memiliki nol kovarians. Tetapi Anda akan memiliki non-kemerdekaan setiap kali $P(X)$ $P(Y|X)$ $P(Y=a|X) = P(Y=-a|X)$ $X$ $x$ ; yaitu, kondisi tidak semuanya sama dengan marginal. Atau juga untuk simetri di sekitarsumbu . $P(Y|X) \neq P(Y)$ $y$

— jpillow
sumber

32

$X$ $EX=0$ $EX^3=0$ $Y=X^2$ $X$ $Y$

c o v (X, Y) = E X Y - E X \cdot E Y = E X^{3} = 0.

$cov(X,Y)=EXY-EX\cdot EY=EX^3=0.$

— mpiktas
sumber

Saya suka contoh itu juga. Sebagai kasus khusus, N (0,1) rv dan chi2 (1) rv tidak berkorelasi.

— ocram

3

E [X^{3}] = 0

$E[X^3] = 0$

E [X] = 0

$E[X] = 0$

E [X^{3}]

$E[X^3]$

\infty - \infty

$\infty - \infty$

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

X^{2} \sim χ^{2} (1)

$X^2 \sim \chi^2(1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

@DilipSarwate, terima kasih, saya sudah mengedit jawaban saya. Ketika saya menulisnya saya berpikir tentang variabel normal, bagi mereka nol momen ketiga mengikuti dari mean nol.

— mpiktas

19

Gambar di bawah ini (sumber Wikipedia ) memiliki sejumlah contoh di baris ketiga, khususnya contoh pertama dan keempat memiliki hubungan dependen yang kuat, tetapi 0 korelasi (dan 0 kovarians).

masukkan deskripsi gambar di sini

— tidak ada apa-apa101
sumber

15

Beberapa contoh lain, pertimbangkan titik data yang membentuk lingkaran atau elips, kovariannya adalah 0, tetapi mengetahui x Anda mempersempit nilai y menjadi 2. Atau data dalam kotak atau persegi panjang. Juga data yang membentuk X atau V atau a ^ atau <atau> semua akan memberikan kovarian 0, tetapi tidak independen. Jika y = sin (x) (atau cos) dan x mencakup kelipatan integer periode maka cov akan sama dengan 0, tetapi mengetahui x Anda tahu y atau setidaknya | y | dalam kasus elips, x, <, dan>.

— Greg Snow
sumber

1

Bahwa jika harus "jika x mencakup kelipatan bilangan bulat dari periode yang dimulai pada puncak atau palung", atau lebih umum: "Jika x mencakup suatu interval di mana Anda simetris"

— naught101

dapatkah Anda menjelaskan mengapa kovarians nol untuk lingkaran?

— user1993

1

@ user1993, Lihatlah rumus untuk kovarians (atau korelasi). Kemudian pikirkan tentang lingkaran / elips. Mengurangi mean memberikan lingkaran yang berpusat pada (0,0), jadi untuk setiap titik pada lingkaran Anda dapat mencerminkan titik di sekitar sumbu x, sumbu y, dan kedua sumbu untuk menemukan total 4 poin yang semuanya akan berkontribusi nilai absolut yang sama persis dengan kovarians, tetapi 2 akan positif dan 2 akan negatif memberikan jumlah 0. Lakukan ini untuk semua poin pada lingkaran dan Anda akan menambahkan bersama sekelompok 0 memberikan kovarians total dari 0.

— Greg Snow