Menghasilkan sampel acak dari distribusi khusus

Saya mencoba untuk menghasilkan sampel acak dari pdf kustom menggunakan R. Pdf saya adalah:

f_{X} (x) = \frac{3}{2} (1 - x^{2}), 0 \leq x \leq 1

$f_{X}(x) = \frac{3}{2} (1-x^2), 0 \le x \le 1$

Saya menghasilkan sampel yang seragam dan kemudian mencoba mengubahnya menjadi distribusi khusus saya. Saya melakukan ini dengan menemukan cdf dari distribusi saya ( $F_{X}(x)$ ) dan mengaturnya ke sampel seragam ( ) dan menyelesaikannya untuk . $u$ $x$

F_{X} (x) = Pr [X \leq x] = \int_{0}^{x} \frac{3}{2} (1 - y^{2}) d y = \frac{3}{2} (x - \frac{x^{3}}{3})

$F_{X}(x) = \Pr[X \le x] = \int_{0}^{x} \frac{3}{2} (1-y^2) dy = \frac{3}{2} (x - \frac{x^3}{3})$

Untuk menghasilkan sampel acak dengan distribusi di atas, dapatkan sampel seragam dan selesaikan untuk in $u \in[0,1]$ $x$

\frac{3}{2} (x - \frac{x^{3}}{3}) = u

$\frac{3}{2} (x - \frac{x^3}{3}) = u$

Saya menerapkannya Rdan saya tidak mendapatkan distribusi yang diharapkan. Adakah yang bisa menunjukkan kekurangan dalam pemahaman saya?

nsamples <- 1000;
x <- runif(nsamples);

f <- function(x, u) { 
  return(3/2*(x-x^3/3) - u);
}

z <- c();
for (i in 1:nsamples) {
  # find the root within (0,1) 
  r <- uniroot(f, c(0,1), tol = 0.0001, u = x[i])$root;
  z <- c(z, r);
}

r sampling uniform

— Anand
sumber

Pasti ada kesalahan pengkodean. Saya tidak menggunakan R, jadi saya tidak bisa mengatakan apa kesalahan sebenarnya - tapi saya baru saja membuat kode solusi Anda (berhati-hati untuk mengambil akar tengah dari polinomial kubik, yang selalu terletak antara 0 dan 1), dan Saya mendapatkan persetujuan yang baik antara sampel dan distribusi yang diharapkan. Mungkinkah ada masalah dengan pencari root Anda? Apa yang salah dengan sampel yang Anda dapatkan?

— jpillow

Saya mencoba kode Anda (yang tidak sangat efisien, omong-omong) dan mendapatkan distribusi yang diharapkan.

— Aniko

@jpillow dan @Aniko Kesalahan saya. Ketika saya menggunakan nsamples <- 1e6itu cocok.

— Anand

@ Anand Salah satu cara adalah dengan mengamati bahwa , memungkinkan perhitungan langsung dalam hal .

x = 2 \sin (\arcsin (u) / 3)

$x = 2\sin(\arcsin(u)/3)$

x

$x$

u

$u$

— whuber

@Anand en.wikipedia.org/wiki/…

— whuber

Sepertinya Anda tahu bahwa kode Anda berfungsi, tetapi @Aniko menunjukkan bahwa Anda dapat meningkatkan efisiensinya. Kenaikan kecepatan terbesar Anda mungkin berasal dari pra-alokasi memori zagar Anda tidak menanamnya di dalam satu lingkaran. Sesuatu seperti z <- rep(NA, nsamples)harus melakukan triknya. Anda dapat memperoleh kecepatan kecil dengan menggunakan vapply()(yang menentukan tipe variabel yang dikembalikan) alih-alih loop eksplisit (ada pertanyaan SO yang bagus tentang keluarga yang berlaku).

> nsamples <- 1E5
> x <- runif(nsamples)
> f <- function(x, u) 1.5 * (x - (x^3) / 3) - u
> z <- c()
> 
> # original version
> system.time({
+ for (i in 1:nsamples) {
+   # find the root within (0,1) 
+   r <- uniroot(f, c(0,1), tol = 0.0001, u = x[i])$root
+   z <- c(z, r)
+ }
+ })
   user  system elapsed 
  49.88    0.00   50.54 
> 
> # original version with pre-allocation
> z.pre <- rep(NA, nsamples)
> system.time({
+ for (i in 1:nsamples) {
+   # find the root within (0,1) 
+   z.pre[i] <- uniroot(f, c(0,1), tol = 0.0001, u = x[i])$root
+   }
+ })
   user  system elapsed 
   7.55    0.01    7.78 
> 
> 
> 
> # my version with sapply
> my.uniroot <- function(x) uniroot(f, c(0, 1), tol = 0.0001, u = x)$root
> system.time({
+   r <- vapply(x, my.uniroot, numeric(1))
+ })
   user  system elapsed 
   6.61    0.02    6.74 
> 
> # same results
> head(z)
[1] 0.7803198 0.2860108 0.5153724 0.2479611 0.3451658 0.4682738
> head(z.pre)
[1] 0.7803198 0.2860108 0.5153724 0.2479611 0.3451658 0.4682738
> head(r)
[1] 0.7803198 0.2860108 0.5153724 0.2479611 0.3451658 0.4682738

Dan Anda tidak perlu ;di akhir setiap baris (apakah Anda seorang konversi MATLAB?).

— Richard Herron
sumber

Terima kasih atas jawaban terperinci Anda dan untuk menunjukkannya vapply. Saya telah mengkode dalam C/C++waktu yang sangat lama dan itulah alasan ;kesengsaraan!

— Anand

uniroot

10^{7}

$10^7$