Kecukupan atau Ketidakcukupan

Pertimbangkan sampel acak mana adalah iid variabel acak di mana . Periksa apakah adalah statistik yang cukup untuk . $\{X_1,X_2,X_3\}$ $X_i$ $Bernoulli(p)$ $p\in(0,1)$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ $p$

Pertama, bagaimana kita dapat menemukan distribusi untuk ? Atau haruskah itu dipecah menjadi dan kemudian akankah ini mengikuti ? Saya pikir bukan karena perhatikan bahwa semua variabel tidak independen di sini. $(X_1+2X_2+X_3)$ $X_1+X_2+X_2+X_3$ $Bin(4,p)$

Bergantian, jika saya menggunakan kondisi faktorisasi dengan hanya mempertimbangkan PMF gabungan maka mana . $(X_1,X_2,X_3)$ $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ $t(x)=x_1+2x_2+x_3$

Ini menunjukkan bahwa tidak cukup. $T$

Tetapi bagaimana jika saya ingin mengikuti definisi dan ingin menerapkan untuk memeriksa apakah rasio ini tidak bergantung pada ? Maka saya perlu tahu distribusi . Lalu bagaimana, apakah distribusi ? $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ $p$ $g$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$

inference point-estimation sufficient-statistics

— Landon Carter
sumber

Petunjuk: Anda tidak perlu tahu distribusi penuh . Pertimbangkan, misalnya, kasus : berapakah distribusi probabilitas bersyarat ?

T (X)

$T(X)$

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X | T (X) = 2)

$(X|T(X)=2)$

— whuber

Jika maka . Jadi yang bergantung pada , benar?

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$

P (X | T (X) = 2) = p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2} = p (1 - p)

$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$

p

$p$

— Landon Carter

Itu ide yang tepat - tapi saya tidak melihat mengapa Anda menambahkan dua probabilitas. Bukankah suatu vektor ? (Jika Anda suka, Anda dapat menggunakan jenis perhitungan yang sama untuk menemukan distribusi penuh (hanya dapat mencapai nilai ), tetapi itu tidak lagi diperlukan, bukan? ))

X

$X$

T (X)

$T(X)$

0, 1, 2, 3, 4

$0,1,2,3,4$

— whuber

Ya benar. Terima kasih! Jadi, sekali kami menunjukkan bahwa rasio ini tidak terlepas dari untuk setidaknya satu kali sampel, maka kami selesai! Terima kasih. Dan SELAMAT TAHUN BARU :)

p

$p$

— Landon Carter

Ya adalah vektor, tetapi yang lebih penting dan probabilitas . Tolong koreksi saya jika saya salah.

X

$X$

X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$X=(X_1,X_2,X_3)$

P (X | T (X) = 2) = P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0))

$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— Landon Carter

Saya berdiskusi dengan "whuber" dan mungkin saya mendapat petunjuk (benar?) Untuk melihat titik sampel: evaluasi pada titik sampel dan periksa apakah rasio ini tidak tergantung pada parameter, dalam hal ini . $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ $x$ $p$

Jadi ambil lalu . Jadi kami mengevaluasi . Sekarang,Karena properti iid,Juga $x=(1,0,1)$ $T(1,0,1)=2$ $\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

T (X) = 2 iff X \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} .

$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$

P (X = (1, 0, 1)) = p^{2} (1 - p) and P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p)^{2} .

$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$

P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p) .

$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$

Karenanya yang jelas tergantung pada , dan karena itu bukan statistik yang memadai.

\frac{P (X = (1, 0, 1))}{P (T (X) = 2)} = \frac{p^{2} (1 - p)}{p (1 - p)} = p

$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$

p

$p$

T

$T$

— Landon Carter
sumber