Hasilkan matriks definitif positif simetris dengan pola sparsity yang ditentukan sebelumnya

Saya mencoba untuk menghasilkan matriks korelasi $p\times p$ (symmetric psd) dengan struktur sparsity yang ditentukan sebelumnya (ditentukan oleh grafik pada $p$ node). Node yang terhubung dalam grafik memiliki korelasi $\rho \sim U(0,1)$ , sisanya semua adalah 0 dan diagonal adalah semua 1.

Saya telah mencoba membuat matriks ini beberapa kali tetapi jarang mendapatkan matriks korelasi yang valid.

Apakah ada cara yang bisa saya pastikan matriks korelasi whp? Perhatikan bahwa saya hanya dapat memiliki korelasi positif sehingga dll bukanlah pilihan.$\rho \sim U(-1,1)$

Setiap bantuan sangat dihargai!

Tutup tetapi tidak ada cerutu untuk @Rodrigo de Azevedo.

Solusinya adalah dengan menggunakan pemrograman semidefinite untuk menemukan nilai maksimum, , dan nilai minimum (dikenakan nonnegatif), ρ m i n , dari ρ sehingga matriks korelasi dengan pola sparsity yang ditentukan adalah semidefinite positif (psd ). Semua nilai-nilai ρ sehingga ρ m sebuah x ≤ ρ ≤ ρ m a $\rho_{max}$$\rho_{min}$$\rho$$\rho$$\rho_{max}\le \rho \le \rho_{max}$ , akan menghasilkan matriks PSD (latihan bagi pembaca)

Oleh karena itu, Anda harus memilih distribusi yang hanya dapat mengambil nilai dalam [ ρ m a x , ρ m a x ] , atau Anda harus menggunakan penerimaan / penolakan dan menolak nilai-nilai ρ yang dihasilkan$\rho$$[\rho_{max},\rho_{max}]$$\rho$ yang yang tidak menghasilkan matriks psd.

Contoh untuk matriks 4 oleh 4 menggunakan YALMIP di bawah MATLAB

sdpvar rho % declare rho to be a scalar variable
% find maximum value of rho (by minimizing -rho) subject to prescribed matrix being psd.
optimize([1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,-rho) 
% find minimum value of rho subject to prescribed matrix being psd and rho being >= 0.
optimize([[1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,rho >= 0],rho) 

Hasil: maksimum rho = 0,57735, minimum rho = 0. Sudah jelas bahwa nol akan menjadi nilai minimum rho yang dikenakan rho menjadi tidak negatif dan matriks yang ditentukan menjadi psd, terlepas dari dimensi atau pola sparsity. Oleh karena itu, tidak perlu menjalankan optimasi semidefinite untuk menemukan nilai minimum negatif dari .$\rho$

Matriks korelasi simetris, semidefinit positif, dan memiliki pada diagonal utamanya. Satu dapat menemukan n × n matriks korelasi dengan memecahkan berikut Program semidefinite (SDP) di mana fungsi tujuan adalah sewenang-wenang, katakanlah, fungsi nol$1$$n \times n$

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

Jika seseorang memiliki kendala tambahan, seperti kendala sparsity

$$x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]$$

dan kendala non-negatif, , maka seseorang memecahkan SDP berikut$\mathrm X \geq \mathrm O_n$

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]\\ & \mathrm X \geq \mathrm O_n\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

---

A $3 \times 3$ contoh

Misalkan kita ingin punya $x_{13} = 0$$x_{12}, x_{23} \geq 0$

cvx_begin sdp

    variable X(3,3) symmetric

    minimize( trace(zeros(3,3)*X) )
    subject to

        % put ones on the main diagonal
        X(1,1)==1
        X(2,2)==1
        X(3,3)==1

        % put a zero in the northeast and southwest corners
        X(1,3)==0

        % impose nonnegativity
        X(1,2)>=0
        X(2,3)>=0

        % impose positive semidefiniteness
        X >= 0

cvx_end

Menjalankan skrip,

Calling sedumi: 8 variables, 6 equality constraints
------------------------------------------------------------
SeDuMi 1.21 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500
eqs m = 6, order n = 6, dim = 12, blocks = 2
nnz(A) = 8 + 0, nnz(ADA) = 36, nnz(L) = 21
 it :     b*y       gap    delta  rate   t/tP*  t/tD*   feas cg cg  prec
  0 :            3.00E+000 0.000
  1 : -1.18E-001 6.45E-001 0.000 0.2150 0.9000 0.9000   1.86  1  1  1.2E+000
  2 : -6.89E-004 2.25E-002 0.000 0.0349 0.9900 0.9900   1.52  1  1  3.5E-001
  3 : -6.48E-009 9.72E-007 0.097 0.0000 1.0000 1.0000   1.01  1  1  3.8E-006
  4 : -3.05E-010 2.15E-009 0.000 0.0022 0.9990 0.9990   1.00  1  1  1.5E-007
  5 : -2.93E-016 5.06E-015 0.000 0.0000 1.0000 1.0000   1.00  1  1  3.2E-013

iter seconds digits       c*x               b*y
  5      0.3   5.8  0.0000000000e+000 -2.9302886987e-016
|Ax-b| =  1.7e-015, [Ay-c]_+ =  6.1E-016, |x|= 2.0e+000, |y|= 1.5e-015

Detailed timing (sec)
   Pre          IPM          Post
1.563E-001    2.500E-001    1.094E-001    
Max-norms: ||b||=1, ||c|| = 0,
Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.
------------------------------------------------------------
Status: Solved
Optimal value (cvx_optval): +0

Mari kita lihat solusi apa yang ditemukan CVX,

>> X

X =

    1.0000    0.4143         0
    0.4143    1.0000    0.4143
         0    0.4143    1.0000

Apakah matriks ini semidefinit positif? Yang pasti positif?

>> rank(X)

ans =

     3

>> eigs(X)

ans =

    1.5860
    1.0000
    0.4140

Ini pasti positif, seperti yang diharapkan. Kita dapat menemukan matriks korelasi semidefinit positif dengan memilih fungsi objektif yang bukan nol (linier).