Kenapa

Urutan penduga untuk parameter normal asimptotik jika . ( sumber ) Kami kemudian memanggil varians asimptotik dari . Jika varians ini sama dengan ikatan Cramer-Rao , kami katakan estimator / urutannya efisien secara asimptotik. $U_n$ $\theta$ $\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$ $v$ $U_n$

Pertanyaan: Mengapa kita menggunakan khususnya? $\sqrt{n}$

Saya tahu bahwa untuk mean sampel, dan karenanya pilihan ini menormalkannya. Tetapi karena definisi di atas berlaku untuk lebih dari rata-rata sampel, mengapa kita masih memilih untuk menormalkan dengan . $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ $\sqrt{n}$

estimation asymptotics efficiency

— tidak mengerti
sumber

Untuk estimator yang baik,

U_{n}

$U_n$ harus memiliki rata-rata

θ

$\theta$ , parameter yang diestimasikan, dan varians

U_{n}

$U_n$ harus konvergen ke

0

$0$ , yaitu, distribusi

U_{n}

$U_n$ harus konvergen ke distribusi yang berdegenerasi dengan atom tunggal di

θ

$\theta$ . Tetapi ada banyak cara berbeda yang dapat terjadi konvergensi ini, misalnya

U_{n} \sim U (θ - 1 / n, θ + 1 / n)

$U_n \sim U(\theta-1/n,\theta+1/n)$ atau dll. Kami ingin menerapkan soubriquet

U_{n} \sim N (θ, v / n)

$U_n\sim N(\theta,v/n)$ normal asimptotik untuk kasus terakhir, tetapi tidak untuk kasus sebelumnya.

— Dilip Sarwate

Estimator yang efisien normal asimptotik. en.wikipedia.org/wiki/…

— Khashaa

Mungkinkah pertanyaan ini lebih baik disebut sebagai "normalitas asimptotik" daripada "efisiensi asimptotik"? Tidak jelas bagi saya di mana "efisiensi" menjadi aspek substantif dari pertanyaan, bukan hanya konteks di mana "normalitas asimptotik" telah ditemukan.

— Silverfish

Kita hanya perlu memeriksa bukti normalitas asimtotik MLE! Akar kuadrat

n

$n$ adalah untuk membuat teorema batas pusat yang berlaku untuk rata-rata sampel!

— Megadeth

Jawaban:

Kami tidak bisa memilih di sini. Faktor "normalisasi", pada dasarnya adalah faktor "menstabilkan varians ke sesuatu yang terbatas", sehingga untuk ekspresi tidak pergi ke nol atau hingga tak terbatas ketika ukuran sampel menuju tak terbatas, tetapi untuk mempertahankan distribusi pada batas.

Jadi itu harus menjadi apa pun itu dalam setiap kasus. Tentu saja itu adalah menarik bahwa dalam banyak kasus itu muncul bahwa itu memiliki menjadi . (tapi lihat juga komentar @ whuber di bawah). $\sqrt n$

Contoh standar di mana faktor normalisasi harus , daripada adalah ketika kita memiliki model $n$ $\sqrt n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}, y_{0} = 0, t = 1, . . ., T

$y_t = \beta y_{t-1} + u_t, \;\; y_0 = 0,\; t=1,...,T$

dengan white noise, dan kami memperkirakan tidak diketahui oleh Ordinary Least Squares. $u_t$ $\beta$

Jika kebetulan bahwa nilai sebenarnya dari koefisien adalah , maka penaksir OLS konsisten dan konvergen pada laju biasa . $|\beta|<1$ $\sqrt n$

Tetapi jika sebaliknya nilai sebenarnya adalah (yaitu kita sebenarnya memiliki jalan acak murni), maka penaksir OLS konsisten tetapi akan konvergen "lebih cepat", pada tingkat (ini kadang-kadang disebut penaksir "superkonsisten" - karena, saya kira, begitu banyak penaksir bertemu pada tingkat ). Dalam hal ini, untuk mendapatkan distribusi asimptotik (non-normal), kita harus menskala dengan (jika kita skalakan hanya dengan ekspresi akan menjadi nol). Hamilton ch 17 memiliki detailnya. $\beta=1$ $n$ $\sqrt n$
$(\hat \beta - \beta)$ $n$ $\sqrt n$

— Alecos Papadopoulos
sumber

Alecos, bisa Anda memperjelas apa yang sedang diperkirakan dalam model

(di mana saya kira Anda berarti

dan pengamatan yang subscript

dll). Apakah itu dalam model

OLS estimator

konvergen pada tingkat

y_{t} = y_{t - 1} + u_{t}, u_{0} = 0

$y_t = y_{t-1}+u_t, u_0=0$

y_{0} = 0

$y_0=0$

1, 2,

$1, 2,$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

untuk

tetapi ketika

konvergensi berada pada rate

, atau apakah itu kasus dalam model

konvergensi selalu pada rate

? Singkatnya, apa signifikansi pernyataan "dan

, yaitu jalan acak murni."?

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

| β | < 1

$|\beta| < 1$

β = 1

$\beta=1$

n

$n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

n

$n$

β = 1

$\beta=1$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Terima kasih. Diperbarui. Saya yakin sudah jelas sekarang.

— Alecos Papadopoulos

(+1) Mungkin bermanfaat dan instruktif untuk mencatat bahwa pilihan

(atau

atau apa pun yang sesuai) tidak unik. Sebagai gantinya Anda dapat menggunakanfungsiapa pun

yang nilai pembatasnya

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

sama dengan persatuan. Hanya dalam pengertian yang lebih luas inilah

"harus menjadi apa pun yang seharusnya."

f (n) / \sqrt{n}

$f(n)/\sqrt{n}$

f

$f$

— whuber

@Khashaa OP bertanya tentang efisiensi asimptotik, tetapi dalam prosesnya, terungkap bahwa OP mungkin memiliki kesan yang salah tentang faktor "normalisasi". Ini adalah masalah yang lebih mendasar, jadi saya memilih untuk membahas ini dalam jawaban saya. Tidak ada yang dikatakan dalam jawaban saya tentang efisiensi.

— Alecos Papadopoulos

Mungkin perlu disebutkan dalam jawaban Anda bahwa kasus dengan

daripada

n

$n$

disebut "superkonsisten"? Saat ini satu-satunya penyebutan "superkonsisten" lainnya di CV yang dapat diambil fungsi pencarian situs tersebutoleh Alecos! Saya pikir itu ide yang baik untuk membuat Qs dan As lebih ramah pencarian.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Silverfish

Anda berada di jalur yang benar dengan sampel intuisi varians rata-rata. Atur kembali kondisi:

\sqrt{n} (U_{n} - θ) \to N (0, v)

$\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$

(U_{n} - θ) \to \frac{N (0, v)}{\sqrt{n}}

$(U_n - \theta) \to \frac{N(0,v)}{\sqrt{n}}$

U_{n} \to N (θ, \frac{v}{n})

$U_n \to N(\theta,\frac{v}{n})$

Persamaan terakhir adalah informal . Namun, itu dalam beberapa cara lebih intuitif: Anda mengatakan bahwa penyimpangan dari menjadi lebih seperti distribusi normal ketika meningkat. Varians menyusut, tetapi bentuknya menjadi lebih dekat dengan distribusi normal. $U_n$ $\theta$ $n$

$n$

— Aksakal
sumber

Anda bisa menjelaskan bagaimana Anda melakukan "pengaturan ulang". Seperti properti apa yang Anda lamar.

— mavavilj