Berapakah distribusi maksimum sepasang imbang, di mana minimum adalah statistik pesanan dari minimum lain?

Pertimbangkan gambar bebas dari cdf , yang didefinisikan lebih dari 0-1, di mana dan adalah bilangan bulat. Secara sewenang-wenang mengelompokkan undian menjadi grup dengan nilai m di setiap grup. Lihatlah nilai minimum di setiap kelompok. Ambil grup yang memiliki minima paling besar. Sekarang, apa distribusi yang menentukan nilai maksimum dalam grup itu? Secara umum, berapakah distribusi untuk statistik urutan ke- dari draws dari , di mana urutan ke-k dari draw m itu juga merupakan urutan ke-p dari n draw dari statistik urutan ke-k?$n\cdot m$$F(x)$$n$$m$$n$$j$$m$$F(x)$

Semua itu adalah yang paling abstrak, jadi di sini adalah contoh yang lebih konkret. Pertimbangkan 8 draw . Kelompokkan menjadi 4 pasang 2. Bandingkan nilai minimum pada setiap pasangan. Pilih pasangan dengan tertinggi dari 4 minimum ini. Label yang menggambar "a". Beri label nilai lain dalam pasangan yang sama dengan "b". Apa distribusi ? Kita tahu . Kita tahu a adalah maksimum 4 minimum , dari . Apa itu ?$F(x)$$F_b(b)$$b>a$$F(x)$$F_a(a) = (1-(1-F(x))^2)^4$$F_b(b)$

Saya menjawab ini: "Kelompokkan secara acak undian menjadi n kelompok dengan nilai m di setiap kelompok. Lihatlah nilai minimum di setiap kelompok. Ambil kelompok yang memiliki minima terbesar. Sekarang, distribusi apa yang menentukan nilai maksimum dalam grup itu? "
Biarkan variabel acak ke-i dalam grup j dan ( ) fungsi densitas (cdf). Biarkan maksimum dan minimum dalam grup . Biarkan variabel yang dihasilkan di akhir semua proses. Kami ingin menghitung yang$X_{i,j}$$f(x_{i,j})$$F(x_{i,j})$
$X_{\max,j}, X_{\min,j}$$j$$X_{final}$$P(X_{final}<x)$

$$P(X_{\max,j_0}<x \hbox{ and } X_{\min,j_0}=\max_j{X_{\min,j}} \hbox { and } 1\leq j_0\leq n)$$ $$=nP(X_{max,1}<x \hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x\hbox{ and } X_{1,1}=\max_i(X_{i,1})\hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x, X_{1,1}>X_{2,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j},\ldots,X_{1,1}>X_{m,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j})$$ Sekarang, mari dan . $Y=\max_{j=2\ldots n} X_{min,j}$$W=X_{1,1}$

Pengingat: jika adalah dengan pdf (cdf) ( ), maka memiliki pdf dan memiliki pdf . Dengan menggunakan ini, kita mendapatkan pdf dari adalah $X_1,\ldots X_n$$h$$H$$X_{\min}$$h_{\min}=nh(1-H)^{n-1}$$X_{\max}$$h_{max}=nhH^{n-1}$
$Y$

$$g(y)=(n-1)mf(1-F)^{m-1}[\int_0^y mf(z)(1-F(z))^{m-1} dz]^{n-2},n\geq 2$$

Perhatikan bahwa adalah statistik yang tidak tergantung pada grup 1 sehingga kepadatan sambungannya dengan variabel apa pun di grup 1 adalah produk kepadatan. Sekarang probabilitas di atas menjadi Dengan mengambil turunan dari wrt integral dan menggunakan rumus binomial kita memperoleh pdf dari . $Y$

$$nm\int_0^x f(w)[\int_0^w \int_y^w f(x_{2,1})dx_{2,1}\ldots\int_y^w f(x_{m,1})dx_{m,1}g(y)dy]dw$$ $$=nm\int_0^x f(w)[\int_0^w (F(w)-F(y))^{m-1}g(y)dy]dw$$ $x$$X_{final}$

Contoh: seragam, , . Kemudian$X$$n=4$$m=3$

$$g(y)=9(1-y)^2(3y+y^3-3y^2)^2,$$

$$P(X_{final}<x)=(1/55)x^{12}-(12/55)x^{11}$$ $$+ (6/5)x^{10}-(27/7)x^9+(54/7)x^8-(324/35)x^7+(27/5)x^6.$$

Mean adalah dan adalah .$X_{final}$$374/455=0.822$$0.145$

Karena undian berasal dari sampel iid, kami hanya dapat mempertimbangkan undian yang dipilih. Pertimbangkan . Sekarang kita tahu bahwa berasal dari dan bahwa . Begitu,$f(x) = \frac{d F(x)}{dx}$$b$$f(x)$$b>a$

$$p(b|a) = \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y) dy} \forall b>a, 0 \text{ otherwise}.$$

Minimum dalam undian dua adalah $m$

$$p_2(m) = f(m)\int_m^1f(y) dy.$$

Minimum terbesar di antara 4 undian adalah

$$p(a) = p_2(a)\left[\int_0^a p_2(z) dz\right]^3 = f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3.$$

Jadi akhirnya,

$$p(b) = \int_0^1 \left[u(a) \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y)dy} f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3 \right] da.$$