Apakah probabilitas kesalahan Tipe I dan II berkorelasi negatif?

Dalam kelas statistik dasar tempat saya menjadi TA, profesor menyatakan bahwa ketika probabilitas kesalahan tipe I meningkat, probabilitas kesalahan tipe II β berkurang, dan sebaliknya juga benar. Jadi ini menunjukkan kepada saya bahwa ρ α , β < 0 .$\alpha$$\beta$$\rho_{\alpha, \beta} < 0$

Tetapi bagaimana orang membuktikan ini untuk uji hipotesis umum? Apakah pernyataan itu benar secara umum?

Saya bisa mencoba kasus tertentu (katakan dan H 1 : μ < μ 0 ) tetapi jelas, itu tidak cukup umum untuk menangani pertanyaan ini.$H_0: \mu = \mu_0$$H_1: \mu < \mu_0$

Kuantitas ini ( dan β ) bukan variabel acak, jadi saya ragu untuk berbicara tentang korelasi Pearson mereka; Saya tidak yakin dalam hal apa itu akan berlaku.$\alpha$$\beta$

Keduanya berhubungan negatif dalam arti bahwa, secara umum cukup (tetapi lihat di bawah *) - dan memegang hal-hal lain (seperti ukuran sampel dan ukuran efek di mana Anda menghitung ) sama - jika Anda mengubah α , maka β akan memindahkan arah yang berlawanan (khususnya, dalam situasi khas, β adalah fungsi dari α ; tentukan jumlah yang cukup untuk menentukan β dan itu akan tergantung pada α - dan hubungan itu akan, dalam situasi yang paling masuk akal - jenis yang ingin Anda gunakan dalam suatu tes yang sebenarnya - tergantung secara negatif).$\beta$$\alpha$$\beta$$\beta$$\alpha$$\beta$$\alpha$

Pertimbangkan, misalnya, beberapa kurva daya. Bergerak akan mendorong kurva daya ( 1 - β ) naik atau turun bersamanya, jadi β pada titik tertentu pada kurva (yang merupakan jarak antara kurva dan 1) berkurang dengan meningkatnya α . Berikut ini adalah contoh dengan tes dua sisi (katakanlah uji-t).$\alpha$$1-\beta$$\beta$$\alpha$

Kasing satu sisi serupa, tetapi Anda akan fokus pada bagian kanan gambar di atas (dua kurva di bagian kiri gambar akan mengarah ke nol)

---

* ada beberapa situasi di mana hal ini tidak harus terjadi. Pertimbangkan pengujian untuk seragam (0,1) melalui tes Kolmogorov-Smirnov.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan bahwa alih-alih kita memiliki seragam pada † (atau memang, distribusi dengan beberapa probabilitas di luar interval satuan).$(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

Jika saya mengamati nilai yang tidak terletak pada (0,1), tes Kolmogorov-Smirnov tidak selalu menolak nol. Tapi saya bisa membuat tes kedua, (sebut saja tes KS *), yang seperti Kolmogorov-Smirnov, kecuali bahwa ketika kita mengamati nilai di luar (0,1) kita juga menolak nol apakah statistik biasa atau tidak mencapai nilai kritis.

Kemudian untuk setiap alternatif yang memiliki probabilitas di luar (0,1) kami telah mengurangi tingkat kesalahan Tipe II (dari itu untuk tes KS biasa) tanpa mengubah sama sekali.$\alpha$

(biasanya bukan ide yang bagus untuk menggunakan KS dalam kasus itu, jadi jika Anda tahu itu kemungkinan, Anda perlu memikirkan dengan hati-hati tentang alternatif)$\dagger$

$X$$f_0(x)$$f_1(x)$$H_0$$H_1$$\Gamma_0$$\Gamma_1$$\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$$\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$$H_i$$X \in \Gamma_i$

$$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$$ $\Gamma_0^\prime$$\Gamma_1^\prime$$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$ $$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$$ $$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$$

$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$

$\alpha$$\beta$