Bagaimana menemukan ketika adalah fungsi kepadatan probabilitas?

Bagaimana saya bisa memecahkan masalah ini? Saya membutuhkan persamaan perantara. Mungkin jawabannya adalah . $-tf(x)$

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ adalah fungsi kerapatan probabilitas.

Dengan kata lain, dan $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

sumber: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40

Mencoba persamaan antara di bawah ini:

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— Hiroaki Machida
sumber

Maksud Anda ? MungkinAtau maksud Anda ?

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

- t f (t) .

$-tf(t).$

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— Henry

Gunakan teorema dasar kalkulus

— Henry

Pertimbangkan primitif dari , maka adalah mudah untuk turunan.

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— Stéphane Laurent

Silakan tambahkan self-studytag dan baca tag wiki-nya .

— Glen_b -Reinstate Monica

Jika Anda belajar untuk ujian, memberi Anda solusi lengkap bukanlah hal yang harus dilakukan. Pertanyaan belajar sendiri dimaksudkan untuk membawa orang tersebut mengajukan pertanyaan untuk mengelola untuk menyelesaikan masalah sendiri.

— Xi'an

Jawaban:

Menurut definisi, turunan ( jika ada ) adalah batas bagi selisih

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

sebagai . $h\to 0$

Dengan asumsi adalah kontinu dalam interval untuk cukup kecil , juga akan kontinu sepanjang interval ini. Kemudian Berarti Nilai Teorema menegaskan ada beberapa antara dan yang $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

Seperti , tentu saja , dan kontinuitas dekat kemudian mengimplikasikan sisi kiri memiliki batas sama dengan . $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(Sangat menyenangkan untuk melihat bahwa analisis ini tidak memerlukan alasan tentang keberadaan integral yang tidak tepat asli .) $\int_t^\infty x f(x) dx$

Namun, bahkan ketika distribusi memiliki kerapatan , kerapatan itu tidak harus kontinu. Pada titik diskontinuitas, pembagian selisih akan memiliki batas kiri dan kanan yang berbeda: turunannya tidak ada di sana. $f$

Ini bukan masalah yang bisa dianggap sebagai "patologi" matematika yang bisa diabaikan oleh para praktisi. PDF dari banyak distribusi umum dan bermanfaat memiliki poin diskontinuitas. Misalnya, distribusi Uniform memiliki PDF yang terputus-putus di dan ; distribusi Gamma memiliki PDF yang terputus-putus pada ketika (yang mencakup distribusi Eksponensial di mana-mana dan beberapa distribusi ); dan seterusnya. Karena itu, penting untuk tidak menyatakan, tanpa kualifikasi yang cermat, bahwa jawabannya hanya : itu akan menjadi kesalahan. $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ $-t f(t)$

— whuber
sumber

Adendum yang sangat kecil: Ada kasus di mana integral dapat dibedakan bahkan ketika tidak kontinu. Misalkan untuk dan untuk dan untuk . Kemudian di dekat 0, untuk dan 0 untuk , yang dapat dibedakan dengan sempurna pada .

f (x)

$f(x)$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \leq 0

$x\leq 0$

f (x) = 1

$f(x)=1$

0 < x < 1

$0<x<1$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \geq 2

$x\geq 2$

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$

x \geq 0

$x\geq 0$

x < 0

$x<0$

x = 0

$x=0$

— Alex R.

@Alex Dekat , , bukan . Pertimbangkan Teorema Dasar Kalkulus.

0^{+}

$0^{+}$

F (x) = x

$F(x)=x$

x^{2} / 2

$x^2/2$

— whuber

Maaf bila membingungkan! Saya mendefinisikan .

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$

— Alex R.

@Alexo Integrand Anda kontinu mendekati nol, jadi saya gagal melihat contoh apa yang Anda presentasikan atau apa yang ditunjukkannya.

t f (t)

$tf(t)$

— whuber

Derivasi hebat (+1) - mungkin tidak ada artinya bahwa hasil ini merupakan kasus aturan integral Leibniz .

— Ben - Reinstate Monica

Terpecahkan...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

Terima kasih semua!!!

— Hiroaki Machida
sumber

Apa fungsi ? Mengapa turunan dari adalah 0?

G (t)

$G(t)$

G (\infty)

$G(\infty)$

— Vladislavs Dovgalecs