Harapan pada produk tingkat tinggi dari distribusi normal

Saya memiliki dua variabel terdistribusi normal dan dengan mean nol dan matriks kovarians . Saya tertarik untuk mencoba menghitung nilai dalam hal entri . $X_1$ $X_2$ $\Sigma$ $E[X_1^2 X_2^2]$ $\Sigma$

Saya menggunakan hukum probabilitas total untuk mendapatkan tapi saya tidak yakin apa yang dikurangi dengan harapan batin. Apakah ada metode lain di sini? $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

Terima kasih.

Sunting: Variabel-variabel juga terdistribusi normal secara multivariat.

normal-distribution conditional-expectation

— AGK
sumber

Apakah

dan

menikmati distribusi normal bivariat juga? (Hanya mengatakan bahwa

dan

adalah normal dengan matriks kovarian

tidak cukup untuk menyimpulkan bahwa distribusi bersama adalah normal bivariat).

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Σ

$\Sigma$

— Dilip Sarwate

Untuk aplikasi spesifik yang ada dalam pikiran saya,

dan

memiliki distribusi normal bivariat, oleh teorema batas pusat multivariat. Saya lupa menyebutkan ini di posting asli saya.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— AGK

@ AGK jika Anda ingin memperjelas pos Anda, ada tombol "edit" yang memungkinkan Anda melakukan perubahan. Itu lebih baik bagi pembaca masa depan yang kemudian tidak perlu mencari informasi kunci dalam komentar di bawah pertanyaan.

— Silverfish

Harapannya jelas sebanding dengan produk dari faktor skala kuadrat . Konstanta proporsionalitas diperoleh dengan membakukan variabel, yang mengurangi ke matriks korelasi dengan korelasi $\sigma_{11}\sigma_{22}$ $\Sigma$ . $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

Dengan asumsi normalitas bivariat, maka menurut analisis di https://stats.stackexchange.com/a/71303 kita dapat mengubah variabel menjadi

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

di mana memiliki distribusi normal bivariat (tidak berkorelasi), dan kita hanya perlu menghitung $(X,Y)$

E (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

$c$ $Y$ $X_2$ $X_1$

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

$X$ $Y$

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

$\sigma_{11}\sigma_{22}$

E (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

$(X_1,X_2)$ $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ $X$ $Y$

E (X^{2 k}) = E (Y^{2 k}) = \frac{(2 k)!}{k! 2^{k}} = π^{- 1 / 2} 2^{k} Γ (k + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

$k\ge 0$

E (X_{1}^{2 p} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- p - q} \sum_{i = 0}^{q} ρ^{2 i} (1 - ρ^{2})^{q - i} \frac{(2 p + 2 i)!}{(2 i)! (p + i)! (q - i)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(dengan semua harapan monomial sama dengan nol). Ini sebanding dengan fungsi hypergeometrik (hampir secara definisi: manipulasi yang terlibat tidak dalam atau instruktif),

\frac{1}{π} 2^{p + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (p + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (p + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

$\left(1-\rho ^2\right)^q$ $\rho$

— whuber
sumber

Terima kasih atas jawaban terinci! Saya juga memikirkan pertanyaan terkait dengan polinomial lain, jadi ini adalah kerangka kerja yang sangat membantu. Itu transformasi yang sangat cerdas yang belum pernah saya lihat sebelumnya. Keren!

— AGK

Untuk membantu penyelidikan Anda, saya telah memberikan rincian untuk polinomial umum. Saya merasa geli, ketika awalnya menulis jawaban ini, untuk menyadari bahwa saya mempelajari transformasi ini dari buku teks statistik dasar oleh Friedman, Pisani, dan Purves: kami mengajarkan ini kepada mahasiswa baru!

— whuber