Cara menghitung fungsi kemungkinan

Seumur hidup 3 komponen elektronik adalah dan . Variabel acak telah dimodelkan sebagai sampel acak berukuran 3 dari distribusi eksponensial dengan parameter . Fungsi likelihood adalah, untuk $X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$ $X_{3} = 2.1$ $\theta$ $\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ , di mana . $x = (2, 1.5, 2.1)$

Dan kemudian masalah berlanjut untuk menentukan MLE dengan menemukan nilai yang memaksimalkan . Pertanyaan saya adalah, bagaimana cara menentukan fungsi kemungkinan? Saya mencari pdf dari distribusi eksponensial, tetapi berbeda. Jadi apakah fungsi kemungkinan selalu diberikan kepada saya dalam suatu masalah? Atau apakah saya harus menentukannya sendiri? Jika ya, bagaimana caranya? $\theta$ $log f_{3}(x|\theta)$

distributions maximum-likelihood exponential

— Adrian
sumber

Mengapa Anda ingin melakukan estimasi kemungkinan dengan hanya 3 pengamatan? Perkiraan yang Anda dapatkan untuk akan menjadi bias dan memiliki variasi yang sangat besar. Apakah itu HW?

θ

$\theta$

— Zachary Blumenfeld

Apakah Anda tahu apa definisi kemungkinan itu?

— Glen_b -Reinstate Monica

Fungsi likelihood dari sampel, adalah kepadatan bersama dari variabel acak yang terlibat tetapi dipandang sebagai fungsi dari parameter yang tidak diketahui diberikan sampel spesifik realisasi dari variabel acak ini.

Dalam kasus Anda, tampaknya asumsi di sini adalah bahwa masa pakai masing-masing komponen elektronik ini (yaitu memiliki distribusi marjinal), distribusi eksponensial dengan parameter laju identik , dan demikian juga PDF marginal adalah: $\theta$

f_{X_{i}} (x_{i} ∣ θ) = θ e^{- θ x_{i}}, i = 1, 2, 3

$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$

Juga, tampak bahwa kehidupan masing-masing komponen sepenuhnya independen dari kehidupan yang lain. Dalam kasus seperti itu fungsi kerapatan sendi adalah produk dari tiga kerapatan,

f_{X 1, X 2, X 3} (x_{1}, x_{2}, x_{3} ∣ θ) = θ e^{- θ x_{1}} \cdot θ e^{- θ x_{2}} \cdot θ e^{- θ x_{3}} = θ^{3} \cdot \exp {- θ \sum_{i = 1}^{3} x_{i}}

$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

Untuk mengubahnya menjadi fungsi kemungkinan sampel, kami melihatnya sebagai fungsi diberikan sampel spesifik . $\theta$ $x_i$

L (θ ∣ {x_{1}, x_{2}, x_{3}}) = θ^{3} \cdot \exp {- θ \sum_{i = 1}^{3} x_{i}}

$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

di mana hanya sisi kiri yang berubah, untuk menunjukkan apa yang dianggap sebagai variabel fungsi. Dalam kasus Anda, sampel yang tersedia adalah tiga masa hidup yang diamati , dan . Maka kemungkinannya adalah $\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$ $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$

L (θ ∣ {x_{1} = 3, x_{2} = 1.5, x_{3} = 2.1}) = θ^{3} \cdot \exp {- 6.6 θ}

$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$

$x_i$ $\theta$ $x$ $\theta$

$n=3$ $6.6$ $\theta$ $\sum x$

— Alecos Papadopoulos
sumber