Distribusi yang menggambarkan perbedaan antara variabel terdistribusi binomial negatif?

Sebuah Skellam Distribusi menjelaskan perbedaan antara dua variabel yang memiliki distribusi Poisson. Apakah ada distribusi serupa yang menggambarkan perbedaan antara variabel yang mengikuti distribusi binomial negatif?

Data saya dihasilkan oleh proses Poisson, tetapi mencakup cukup banyak noise, yang menyebabkan penyebaran berlebihan dalam distribusi. Dengan demikian, pemodelan data dengan distribusi binomial negatif (NB) bekerja dengan baik. Jika saya ingin memodelkan perbedaan antara dua set data NB ini, apa opsi saya? Jika itu membantu, anggaplah cara dan varians yang serupa untuk dua set.

Saya tidak tahu nama distribusi ini, tetapi Anda bisa mendapatkannya dari hukum probabilitas total. Misalkan masing-masing memiliki distribusi binomial negatif dengan parameter dan , masing-masing. Saya menggunakan parameterisasi di mana mewakili jumlah keberhasilan sebelum kegagalan r_ {1} 'th, dan r_ {2} ' th. Kemudian,( r 1 , p 1 ) ( r 2 , p 2 ) X , Y r 1 r $X, Y$$(r_{1}, p_{1})$$(r_{2}, p_{2})$$X,Y$$r_{1}$$r_{2}$

$$P(X - Y = k) = E_{Y} \Big( P(X-Y = k) \Big) = E_{Y} \Big( P(X = k+Y) \Big) = \sum_{y=0}^{\infty} P(Y=y)P(X = k+y)$$

Kita tahu

$$P(X = k + y) = {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

dan

$$P(Y = y) = {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y}$$

begitu

$$P(X-Y=k) = \sum_{y=0}^{\infty} {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y} \cdot {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

Itu tidak cantik (Astaga!). Satu-satunya penyederhanaan yang saya lihat langsung adalah

$$p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} {y+r_{2}-1 \choose y} {k+y+r_{1}-1 \choose k+y}$$

yang masih sangat jelek. Saya tidak yakin apakah ini membantu tetapi ini juga dapat ditulis ulang sebagai

$$\frac{ p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} }{ (r_{1}-1)! (r_{2}-1)! } \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} \frac{ (y+r_{2}-1)! (k+y+r_{1}-1)! }{y! (k+y)! }$$

Saya tidak yakin jika ada ekspresi disederhanakan untuk jumlah ini tetapi bisa didekati secara numerik jika Anda hanya perlu untuk menghitung -values$p$

Saya memverifikasi dengan simulasi bahwa perhitungan di atas sudah benar. Berikut adalah fungsi R mentah untuk menghitung fungsi massa ini dan melakukan beberapa simulasi

  f = function(k,r1,r2,p1,p2,UB)  
  {

  S=0
  const = (p1^k) * ((1-p1)^r1) * ((1-p2)^r2)
  const = const/( factorial(r1-1) * factorial(r2-1) ) 

  for(y in 0:UB)
  {
     iy = ((p1*p2)^y) * factorial(y+r2-1)*factorial(k+y+r1-1)
     iy = iy/( factorial(y)*factorial(y+k) )
     S = S + iy
  }

  return(S*const)
  }

 ### Sims
 r1 = 6; r2 = 4; 
 p1 = .7; p2 = .53; 
 X = rnbinom(1e5,r1,p1)
 Y = rnbinom(1e5,r2,p2)
 mean( (X-Y) == 2 ) 
 [1] 0.08508
 f(2,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.08509068
 mean( (X-Y) == 1 ) 
 [1] 0.11581
 f(1,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1162279
 mean( (X-Y) == 0 ) 
 [1] 0.13888
 f(0,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1363209

Saya telah menemukan jumlah yang konvergen sangat cepat untuk semua nilai yang saya coba, jadi pengaturan UB lebih tinggi dari 10 atau lebih tidak perlu. Perhatikan bahwa fungsi built in rnbinom parameter parameter binomial negatif dalam hal jumlah kegagalan sebelum keberhasilan , dalam hal ini Anda harus mengganti semua di dalam rumus di atas dengan untuk kompatibilitas.$r$$p_{1}, p_{2}$$1-p_{1}, 1-p_{2}$

Iya. distribusi Laplace diskret umum miring adalah perbedaan dua variabel acak terdistribusi binomial negatif. Untuk klarifikasi lebih lanjut, lihat artikel online yang tersedia "condong generalised Discrete Distribution umum" oleh seetha Lekshmi.V. dan simi sebastian