Apakah 10 kepala berturut-turut meningkatkan kemungkinan lemparan berikutnya menjadi ekor?

Saya berasumsi bahwa yang berikut ini benar: mengasumsikan koin yang adil, mendapatkan 10 kepala berturut-turut sementara melempar koin tidak meningkatkan peluang lemparan koin berikutnya menjadi ekor , tidak peduli berapa jumlah probabilitas dan / atau jargon statistik yang dilemparkan ke sekitar (permisi permainan kata-kata).

Dengan asumsi itu yang terjadi, pertanyaan saya adalah ini: bagaimana saya meyakinkan seseorang yang menjadi kasusnya?

Mereka cerdas dan berpendidikan tetapi tampaknya bertekad untuk tidak mempertimbangkan bahwa saya mungkin benar dalam hal ini (argumen).

mereka mencoba untuk menyatakan bahwa [...] jika ada 10 kepala, maka selanjutnya dalam urutan akan lebih cenderung menjadi ekor karena statistik mengatakan akan seimbang pada akhirnya

Hanya ada "keseimbangan" dalam arti yang sangat khusus.

Jika itu koin yang adil, maka masih 50-50 di setiap undian. Koin tidak bisa tahu masa lalunya . Tidak tahu ada kelebihan kepala. Itu tidak bisa mengimbangi masa lalunya. Selamanya . itu hanya berjalan secara acak menjadi kepala atau ekor dengan peluang kepala yang konstan.

Jika adalah jumlah kepala dalam n = n H + n T lemparan ( n T adalah jumlah ekor), untuk koin yang adil, n H / n T akan cenderung ke 1, karena n H + n T pergi ke infinity .... tapi | n H - n T | tidak pergi ke 0. Bahkan, itu juga berlaku hingga tak terbatas!$n_H$$n=n_H+n_T$$n_T$$n_H/n_T$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

Artinya, tidak ada yang bertindak untuk membuat mereka lebih adil. Hitungannya cenderung tidak "menyeimbangkan". Rata-rata, ketidakseimbangan antara jumlah kepala dan ekor benar-benar tumbuh!

Inilah hasil dari 100 set 1000 kali lemparan, dengan jejak abu-abu menunjukkan perbedaan jumlah kepala dikurangi jumlah ekor di setiap langkah.

Jejak abu-abu (mewakili ) adalah jalan acak Bernoulli. Jika Anda berpikir tentang partikel yang bergerak ke atas atau ke bawah sumbu y dengan langkah unit (secara acak dengan probabilitas yang sama) pada setiap langkah waktu, maka distribusi posisi partikel akan 'berdifusi' menjauh dari 0 dari waktu ke waktu. Masih memiliki nilai 0 yang diharapkan, tetapi jarak yang diharapkan dari 0 tumbuh sebagai akar kuadrat dari jumlah langkah waktu. [Catatan untuk siapa pun yang berpikir " apakah ia berbicara tentang perbedaan absolut yang diharapkan atau perbedaan RMS " - sebenarnya baik: untuk besar n yang pertama adalah $n_H-n_T$$n$80% dari yang kedua.]$\sqrt{2/\pi}\approx$

Kurva biru di atas berada pada dan kurva hijau pada±2$\pm \sqrt{n}$ . Seperti yang Anda lihat, jarak khas antara total head dan total tail tumbuh. Jika ada sesuatu yang bertindak untuk 'mengembalikan kesetaraan' - untuk 'menebus' penyimpangan dari kesetaraan - mereka tidak akan cenderung tumbuh terpisah seperti itu. (Tidak sulit untuk menunjukkan ini secara aljabar, tapi saya ragu itu akan meyakinkan teman Anda. Bagian yang penting adalah bahwa varians dari jumlah variabel acak independen adalahjumlah varians<lihat bagian akhir dari bagian terkait>- setiap saat Anda menambahkan flip koin lain, Anda menambahkan jumlah yang konstan ke dalam varians dari penjumlahan ... sehingga varians harus tumbuh secara proporsional dengann. Akibatnya deviasi standar meningkat dengan$\pm 2\sqrt{n}$ $<$$>$$n$ . Konstanta yang ditambahkan ke varian pada setiap langkah dalam kasus ini adalah 1, tetapi itu tidak penting untuk argumen.)$\sqrt{n}$

Setara, tidak pergi ke0sebagai total lemparan pergi ke infinity, tetapi hanya karenanH+nTpergi ke infinity jauh lebih cepat daripada| nH-nT| ya.$\frac{|n_H-n_T|}{n_H+n_T}$$0$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

Itu berarti jika kita membagi jumlah kumulatif dengan $n$ pada setiap langkah, itu kurva di - perbedaan mutlak khas dalam hitungan adalah dari urutan , tetapi perbedaan absolut tipikal dalamproporsiharus dari urutan1/$\sqrt{n}$ .$1/\sqrt{n}$

Hanya itu yang terjadi. Penyimpangan yang semakin besar * acak dari kesetaraan hanya " dihapus " oleh penyebut yang bahkan lebih besar .

* Menambah ukuran absolut khas

Lihat animasi kecil di margin, di sini

Jika teman Anda tidak yakin, lempar beberapa koin. Setiap kali Anda mengatakan tiga kepala berturut-turut, suruh dia mencalonkan kemungkinan untuk kepala pada lemparan berikutnya (itu kurang dari 50%) yang menurutnya harus adil dengan alasannya. Minta mereka untuk memberi Anda peluang yang sesuai (yaitu, ia harus bersedia membayar sedikit lebih dari 1: 1 jika Anda bertaruh, karena mereka bersikeras bahwa ekor lebih mungkin). Paling baik jika disetel sebagai banyak taruhan masing-masing dengan sejumlah kecil uang. (Jangan heran jika ada beberapa alasan mengapa mereka tidak dapat mengambil setengah dari taruhan mereka - tetapi itu setidaknya tampaknya secara dramatis mengurangi kegigihan di mana posisi diadakan.)

[Namun, semua diskusi ini didasarkan pada koin yang adil. Jika koin itu tidak adil (50-50), maka versi diskusi yang berbeda - yang didasarkan pada penyimpangan dari selisih proporsi yang diharapkan akan diperlukan. Memiliki 10 kepala dalam 10 kali lemparan mungkin membuat Anda curiga dengan asumsi p = 0,5. Koin yang dilempar dengan baik harus dekat dengan yang tertimbang adil atau tidak - tetapi pada kenyataannya masih menunjukkan bias yang kecil namun dapat dieksploitasi , terutama jika orang yang mengeksploitasinya adalah seseorang seperti Persi Diaconis. Koin pintal di sisi lain, mungkin cukup rentan terhadap bias karena lebih berat di satu sisi.]

Kebingungannya adalah karena dia melihat probabilitas sejak awal tanpa melihat apa yang telah terjadi.

Mari kita sederhanakan:

Flip pertama:

T

Sekarang peluang T adalah 50%, jadi 0,5.

Peluang flip berikutnya menjadi T lagi adalah 0,5

TT 0.5
TF 0.5

Namun, bagaimana dengan flip pertama? Jika kita memasukkannya maka:

TT 0.25
TF 0.25

50% sisanya dimulai dengan F, dan sekali lagi memiliki pembagian yang rata antara T dan F.

Untuk memperpanjang ini menjadi sepuluh ekor berturut-turut - probabilitas yang sudah Anda dapatkan yaitu 1/1024.

Probabilitas bahwa yang berikutnya adalah T atau F adalah 50%.

Jadi peluang dari awal 11 ekor adalah 1 pada 2048. Probabilitas yang telah membalik ekor 10 kali lipat berikutnya juga akan menjadi ekor meskipun masih 50%.

Mereka mencoba menerapkan ketidaksamaan 1 dalam 1024 peluang 10 T ke peluang T lain, padahal sebenarnya sudah terjadi sehingga kemungkinan itu terjadi tidak lagi penting.

11 ekor berturut-turut tidak lebih atau kurang dari 10 ekor diikuti oleh satu kepala.

Probabilitas bahwa 11 membalik adalah semua ekor tidak mungkin tetapi karena sudah terjadi tidak ada masalah lagi!

Kemungkinannya masih 50-50 bahwa flip berikutnya akan menjadi ekor.

Penjelasan yang sangat sederhana: Peluang membalik 10 kepala + 1 ekor dalam urutan itu sangat rendah. Tetapi pada saat Anda membalik 10 kepala, Anda telah mengalahkan sebagian besar peluang ... Anda memiliki peluang 50-50 untuk menyelesaikan urutan dengan flip koin berikutnya.

Anda harus mencoba meyakinkan mereka bahwa jika hasil sebelumnya berdampak pada lemparan mendatang maka tidak hanya 10 lemparan terakhir yang harus dipertimbangkan, tetapi juga setiap lemparan sebelumnya dalam kehidupan koin.

Saya pikir ini pendekatan yang lebih logis.

Ini sebenarnya bukan jawaban - masalah Anda adalah psikologis, bukan matematika. Tetapi mungkin bisa membantu.

sometimes$2^{10} \approx 10^3$

$1/2$

$x_n$$11, 12, \dots, n+10.$

Aspek lainnya adalah : Setelah sepuluh kali lemparan sepuluh ekor, mungkin seseorang mulai meragukan apakah koin itu bagus, sesuai dengan model sederhana, biasa yang independen, probabilitas yang sama. Dengan asumsi "tosser" (orang yang melakukan tossing) belum dilatih untuk mengendalikan lemparan dengan cara tertentu, dan benar-benar melemparkan dengan cara yang jujur, kemungkinan ekor harus satu setengah ( lihat makalah Gelman ini .)

Jadi harus ada, dalam hipotesis alternatif, beberapa ketergantungan di antara lemparan koin! Dan, setelah melihat sepuluh ekor berturut-turut, buktinya adalah bahwa ketergantungan itu positif, sehingga satu ekor meningkatkan kemungkinan bahwa lemparan koin berikutnya adalah ekor. Tapi kemudian, setelah analisis itu, kesimpulan yang masuk akal adalah bahwa probabilitas lemparan kesebelas menjadi ekor, meningkat , bukan diturunkan! Jadi kesimpulannya, dalam hal ini, adalah kebalikan dari teman penjudi Anda.

Saya pikir Anda akan membutuhkan model yang sangat aneh untuk membenarkan kesimpulan mereka.

Dengan asumsi membalik koin independen, ini sangat mudah dibuktikan dari satu ahli statistik ke yang lain. Namun, teman Anda tampaknya tidak percaya bahwa koin terbalik bersifat independen. Selain melemparkan kata-kata yang identik dengan independen (misalnya, koin tidak memiliki "memori"), Anda tidak dapat membuktikan kepadanya bahwa membalik koin independen dengan argumen kata belaka. Saya akan menyarankan menggunakan simulasi untuk menegaskan klaim Anda tetapi, jujur ​​saja, jika teman Anda tidak percaya bahwa koin membalik independen, saya tidak yakin dia akan percaya hasil simulasi.

Untuk menyatakan kembali beberapa penjelasan yang sudah diberikan (oleh @TimB dan @James K), setelah Anda membalik koin 10 kali dan mendapat 10 kepala, kemungkinan mendapatkan 10 kepala berturut-turut adalah tepat 1,0! Itu sudah terjadi, jadi kemungkinan terjadinya itu sekarang sudah diperbaiki.

Ketika Anda mengalikannya dengan kemungkinan mendapatkan head pada flip Anda berikutnya (0,5), Anda mendapatkan tepat 0,5.

Bertaruh pada ekor dengan apa pun selain peluang bahkan pada titik itu adalah taruhan pengisap.

$p=\frac{1}{2}$$\pi>\frac{1}{2}$

Contoh UPDATE @oerkelens dapat diartikan dalam dua cara.

• teman Anda bertaruh pada THHTTHTTHT, lalu melemparkan koin 10 kali dan mendapat: THHTTHTTHT. Dalam hal ini Anda akan sama terkejutnya dengan 10 kepala berturut-turut, dan mulai meragukan keadilan sebuah koin. Anda tidak yakin apa yang harus dipikirkan tentang kemungkinan ekor di lemparan berikutnya, karena teman Anda tampaknya bisa mendapatkan apa yang dia inginkan, ini tidak acak.
• $p=\frac{10!}{6!4!2^{10}}\sim 0.2$$\frac{1}{2}$

UNTUK ORANG KOMPUTER Jika teman Anda adalah pemrogram komputer maka saya menemukan bahwa cara termudah untuk menarik intuisi mereka adalah melalui pemrograman. Minta mereka untuk memprogram eksperimen lempar koin. Mereka akan berpikir sedikit kemudian membuat sesuatu seperti ini:

for i=1:11
   if rand()>0.5 
       c='H';
   else
       c='T';
   end
   fprintf('%s',c)
end
disp '.'

THTHTHTHHHT.

Anda akan bertanya kepada mereka

di mana kode Anda untuk menangani 10 kepala berturut-turut di sini? Tampaknya dalam kode Anda terlepas dari apa yang terjadi dalam 10 loop pertama, lemparan ke-11 memiliki 0,5 kemungkinan kepala.

Namun, kasus ini menarik bagi lemparan koin yang adil. Kode ini dirancang dengan lemparan koin yang adil. Dalam hal 10 kepala, sangat kecil kemungkinan koin itu adil.

Dalam keadaan ideal jawabannya adalah tidak. Setiap lemparan tidak tergantung pada apa yang terjadi sebelumnya. Jadi jika ini adalah koin yang benar-benar adil maka itu tidak masalah. Tetapi jika Anda tidak yakin apakah koin itu salah atau tidak (yang bisa terjadi dalam kehidupan nyata), urutan ekor yang panjang mungkin membuat orang percaya bahwa itu tidak adil.

Jawaban ini akan bekerja untuk semua pertanyaan semacam ini, termasuk masalah Monty Hall. Cukup tanyakan kepada mereka apa yang mereka pikirkan kemungkinan mendapatkan ekor setelah sepuluh kepala. Tawarkan untuk bermain mereka untuk sedikit lebih baik (untuk mereka) tetapi masih di bawah peluang 50-50. Dengan sedikit keberuntungan mereka akan setuju untuk membiarkan komputer melakukan flipping dalam hal ini Anda akan dengan cepat memiliki sejumlah uang di saku Anda. Kalau tidak, akan memakan waktu lebih lama tetapi hasilnya (pasti) sama.

Bagaimana Anda meyakinkan mereka? Salah satu caranya adalah dengan menunjukkan distribusi hasil dari masalah yang dijelaskan.

#1,000,000 observations
numObservations <- 1e+6
#11 coin tosses per sample
numCoinTosses <- 11

sampledCoinTosses <- matrix(sample(c(-1,1),numObservations*numCoinTosses,replace=TRUE),
                        nrow = numObservations, ncol = numCoinTosses)
sampledCoinTosses <- cbind(sampledCoinTosses,apply(sampledCoinTosses[,1:numCoinTosses - 1],1,sum))
#Where the sum of the first ten observations is 10, this corresponds to 10 heads.
tenHeadsObservations <- sampledCoinTosses[which(sampledCoinTosses[,numCoinTosses + 1] == 10),]
#By looking at the summary of the 11th coin toss we can see how close the average value is to 0
summary(tenHeadsObservations[,numCoinTosses])

$10$$0.5^{10}$

• jika membuntuti, kita masih berakhir dengan merekam serangkaian peristiwa yang sangat langka dengan kemungkinan $0.5^{10}$
• $0.5^{11}$

Dan perbedaan antara keduanya hanyalah satu lemparan koin yang adil.