Bagaimana cara menghasilkan data deret waktu biner acak yang dihubungkan secara acak?

Bagaimana saya bisa menghasilkan deret waktu biner sehingga:

1. Probabilitas rata-rata mengamati 1 ditentukan (misalnya 5%);
2. Probabilitas kondisional untuk mengamati 1 pada waktu diberi nilai pada t - 1 (katakanlah 30% jika nilai t - 1 adalah 1)?$t$$t-1$$t-1$

Gunakan rantai Markov dua negara.

Jika keadaan disebut 0 dan 1, maka rantai dapat diwakili oleh matriks 2x2 memberikan probabilitas transisi antara keadaan, di mana P i j adalah probabilitas untuk berpindah dari keadaan i ke keadaan j . Dalam matriks ini, setiap baris harus berjumlah 1,0.$P$$P_{ij}$$i$$j$

Dari pernyataan 2, kita memiliki , dan konservasi sederhana kemudian mengatakan P 10 = 0,7 .$P_{11} = 0.3$$P_{10} = 0.7$

Dari pernyataan 1, Anda ingin probabilitas jangka panjang (juga disebut keseimbangan atau kondisi-mapan) menjadi . Ini mengatakan P 1 = 0,05 = 0,3 P 1 + P 01 ( 1 - P 1 ) Memecahkan memberikan P 01 = 0,0368421 dan matriks transisi P = ( 0,963158 0,0368421 0,7 0,3$P_1 = 0.05$

(Anda dapat memeriksa matriks transtion Anda dengan benar dengan menaikkannya ke daya tinggi - dalam hal ini 14 melakukan pekerjaan - setiap baris hasilnya memberikan probabilitas kondisi steady state yang identik)

$P$

Saya mengambil celah pada coding @ Mike Anderson jawaban dalam R. Saya tidak tahu bagaimana melakukannya menggunakan sapply, jadi saya menggunakan loop. Saya sedikit mengubah probs untuk mendapatkan hasil yang lebih menarik, dan saya menggunakan 'A' dan 'B' untuk mewakili negara bagian. Biarkan aku tahu apa yang kamu pikirkan.

set.seed(1234)
TransitionMatrix <- data.frame(A=c(0.9,0.7),B=c(0.1,0.3),row.names=c('A','B'))
Series <- c('A',rep(NA,99))
i <- 2
while (i <= length(Series)) {
    Series[i] <- ifelse(TransitionMatrix[Series[i-1],'A']>=runif(1),'A','B')
    i <- i+1
}
Series <- ifelse(Series=='A',1,0)
> Series
  [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
 [38] 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 [75] 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

/ edit: Menanggapi komentar Paul, berikut ini formulasi yang lebih elegan

set.seed(1234)

createSeries <- function(n, TransitionMatrix){
  stopifnot(is.matrix(TransitionMatrix))
  stopifnot(n>0)

  Series <- c(1,rep(NA,n-1))
  random <- runif(n-1)
  for (i in 2:length(Series)){
    Series[i] <- TransitionMatrix[Series[i-1]+1,1] >= random[i-1]
  }

  return(Series)
}

createSeries(100, matrix(c(0.9,0.7,0.1,0.3), ncol=2))

Saya menulis kode asli ketika saya baru belajar R, jadi potong sedikit kendur. ;-)

Inilah cara Anda memperkirakan matriks transisi, mengingat seri:

Series <- createSeries(100000, matrix(c(0.9,0.7,0.1,0.3), ncol=2))
estimateTransMatrix <- function(Series){
  require(quantmod)
  out <- table(Lag(Series), Series)
  return(out/rowSums(out))
}
estimateTransMatrix(Series)

   Series
            0         1
  0 0.1005085 0.8994915
  1 0.2994029 0.7005971

Urutan ditukar vs matriks transisi asli saya, tetapi mendapat probabilitas yang tepat.

Berikut adalah jawaban berdasarkan markovchainpaket yang dapat digeneralisasikan ke struktur ketergantungan yang lebih kompleks.

library(markovchain)
library(dplyr)

# define the states
states_excitation = c("steady", "excited")

# transition probability matrix
tpm_excitation = matrix(
  data = c(0.2, 0.8, 0.2, 0.8), 
  byrow = TRUE, 
  nrow = 2,
  dimnames = list(states_excitation, states_excitation)
)

# markovchain object
mc_excitation = new(
  "markovchain",
  states = states_excitation,
  transitionMatrix = tpm_excitation,
  name = "Excitation Transition Model"
)

# simulate
df_excitation = data_frame(
  datetime = seq.POSIXt(as.POSIXct("01-01-2016 00:00:00", 
                                   format = "%d-%m-%Y %H:%M:%S", 
                                   tz = "UTC"), 
                        as.POSIXct("01-01-2016 23:59:00", 
                                   format = "%d-%m-%Y %H:%M:%S", 
                                   tz = "UTC"), by = "min"),
  excitation = rmarkovchain(n = 1440, mc_excitation))

# plot
df_excitation %>% 
  ggplot(aes(x = datetime, y = as.numeric(factor(excitation)))) + 
  geom_step(stat = "identity") + 
  theme_bw() + 
  scale_y_discrete(name = "State", breaks = c(1, 2), 
                   labels = states_excitation)

Ini memberi Anda:

Saya kehilangan jejak makalah di mana pendekatan ini dijelaskan, tapi begini saja.

Menguraikan matriks transisi menjadi

yang, secara intuitif, sesuai dengan gagasan bahwa ada beberapa kemungkinan $1-p_t$ bahwa sistem tetap dalam keadaan yang sama, dan probabilitas $p_t$ bahwa keadaan menjadi acak, di mana acak berarti membuat undian independen dari distribusi kesetimbangan untuk keadaan berikutnya ($p_0$ adalah probabilitas keseimbangan untuk berada dalam keadaan pertama).

Perhatikan bahwa dari data yang Anda tentukan perlu Anda pecahkan $p_t$ dari yang ditentukan $T_{11}$ melalui $T_{11} = (1-p_t)+p_t(1-p_0)$.

Salah satu fitur yang berguna dari dekomposisi ini adalah bahwa itu cukup mudah digeneralisasikan ke kelas model Markov berkorelasi dalam masalah dimensi yang lebih tinggi.