ketika adalah variabel kontinu

Saya tahu bahwa untuk variabel kontinu . $P[X=x]=0$

Tetapi saya tidak dapat memvisualisasikan bahwa jika , ada kemungkinan tak terhingga . Dan juga mengapa probabilitas mereka menjadi sangat kecil? $P[X=x]=0$ $x$

— waktu
sumber

kemungkinan rangkap dari probabilitas bersyarat variabel kontinu

— Xi'an

Sudah ada dua suara untuk menutup pertanyaan ini sebagai duplikat. Saya tidak setuju. Ini adalah topik yang cukup mendasar, salah satu yang mungkin akan muncul kembali di masa depan, jadi akan lebih baik jika memiliki jawaban langsung dan berkualitas tinggi, sehingga kita dapat merujuknya di masa depan. Tautan yang disediakan oleh @ Xi'an mungkin dimasukkan sebagai duplikat tetapi juga cukup spesifik dan sulit ditemukan melalui pencarian. Tautan ini juga tidak memberikan jawaban yang lengkap, sementara ancaman ini tampaknya menyatu. Saya pikir itu harus dibiarkan terbuka sebagai referensi di masa depan.

— Tim

Mungkin membantu untuk mempertimbangkan kebalikan dari situasi ini. Mari be setiap variabel acak dan membiarkan berupa bilangan real positif. Hanya ada sejumlah terbatas dari yang , jika tidak - dengan menambahkan semua probabilitas ini atas kejadian yang terpisah - Anda akan menyimpulkan bahwa probabilitas total setidaknya

, yang akhirnya melebihi

. (Ini adalah properti Archimedean dari bilangan real.) Penalaran ini hanya menggunakan tiga aksioma : probabilitas peristiwa disjoint menambahkan, probabilitas total adalah

, dan aksioma Archimedean.

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$

1

$1$

— whuber

@Tim Terima kasih, tapi saya memposting pemikiran ini sebagai komentar, daripada jawaban, karena tidak lengkap: Saya belum menemukan cara dasar untuk menjelaskan apa yang terjadi dalam batas sebagai

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$ . Tampaknya membutuhkan pengetahuan kardinalitas set yang tak terbatas.

— whuber

@ Xi'an Saya setuju, tetapi utas yang Anda usulkan bukan duplikat yang cukup dekat. Ini adalah hal yang sulit untuk dicari. Apakah Anda mungkin mengetahui utas lain yang menduplikasi pertanyaan ini?

— whuber

Jawaban:

Probabilitas adalah model untuk frekuensi pengamatan relatif . Jika suatu peristiwa diamati telah terjadi kali pada percobaan , maka frekuensi relatifnya adalah dan umumnya diyakini bahwa nilai numerik dari rasio di atas adalah perkiraan dekat ke ketika adalah "besar" di mana apa yang dimaksud dengan "besar" sebaiknya diserahkan kepada imajinasi (dan kredibilitas) pembaca. $A$ $N_A$ $N$

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

Sekarang, telah diamati bahwa jika model adalah variabel acak kontinu, maka sampel adalah angka yang berbeda. Dengan demikian, frekuensi relatif dari angka tertentu (atau, yang lebih pedantis, event ) adalah jika salah satu memiliki nilai , atau jika semua berbeda dari . Jika pembaca yang lebih skeptis mengumpulkan sampel tambahan , frekuensi relatif dari acara adalah baik $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ $\frac 1N$ $x_i$ $x$ $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ $\frac{1}{2N}$ atau terus menikmati nilai . Jadi, orang tergoda untuk menebak bahwa harus diberi nilai karena itu adalah perkiraan yang baik untuk frekuensi relatif yang diamati. $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

Catatan: penjelasan di atas adalah (biasanya) memuaskan bagi para insinyur dan orang lain yang tertarik pada penerapan probabilitas dan statistik (yaitu mereka yang percaya bahwa aksioma probabilitas dipilih untuk menjadikan teori model realitas yang baik), tetapi sama sekali tidak memuaskan untuk banyak orang lain. Dimungkinkan juga untuk mendekati pertanyaan Anda dari perspektif matematika atau statistik murni dan membuktikan bahwa harus memiliki nilai setiap kali adalah variabel acak kontinu melalui deduksi logis dari aksioma probabilitas, dan tanpa referensi apa pun. untuk frekuensi relatif atau pengamatan fisik dll. $P\{X = x\}$ $0$ $X$

— Dilip Sarwate
sumber

+1 "Catatan: penjelasan di atas adalah ... memuaskan bagi ... mereka yang percaya bahwa aksioma probabilitas dipilih untuk menjadikan teori model realitas yang baik), tetapi sama sekali tidak memuaskan ...", dalam ungkapan pilihan internet, lol.

— gung - Reinstate Monica

Saya tidak mengerti apa yang Anda maksud dengan itu telah diamati bahwa jika kontinu, maka ... $X$ . Bagaimana kita bisa mengamati itu?

— Stéphane Laurent

@ StéphaneLaurent Kalimat itu sedikit rumit, jadi harus dibaca ulang. Dilucuti dari beberapa tanda kurung, dikatakan "telah diamati bahwa ... sampel ... adalah angka berbeda." Dengan kata lain, ketika seseorang berasumsi bahwa memiliki distribusi kontinu , maka (hampir pasti) tidak akan ada duplikat dalam sampel terbatas . Itu bisa dibuktikan secara matematis: itu bukan pengamatan belaka.

N

$N$ $X$

X

$X$

— whuber

@ StéphaneLaurent Saya pikir pernyataan Dilip dibuat dengan semangat yang berbeda dari itu. Jawaban ini bukan upaya untuk memberikan demonstrasi yang ketat secara matematis, tetapi untuk memberikan beberapa intuisi dan motivasi untuk fakta yang membingungkan OP. Saya tertarik dengan pendekatan ini karena memiliki potensi untuk menjembatani kesenjangan antara teori probabilitas diskrit yang diajarkan secara tradisional kepada pemula dan teori probabilitas umum yang lebih kaya berdasarkan teori ukuran.

— whuber

@whuber Saya mengerti roh, tetapi pada pandangan pertama saya tidak yakin bahwa properti tanpa ikatan lebih intuitif daripada properti probabilitas nol. Untuk ini adalah hal yang sama: " " .

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

— Stéphane Laurent

Biarkan menjadi ruang probabilitas yang mendasarinya. Kita mengatakan bahwa fungsi terukur adalah variabel acak yang benar-benar kontinu jika probabilitas mengukur lebih dari ditentukan oleh , yang dikenal sebagai distribusi , didominasi oleh ukuran Lebesgue , dalam arti bahwa untuk setiap set Borel , jika , maka . Dalam kasus ini, teorema Radon-Nikodym memberi tahu kita bahwa ada terukur $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , didefinisikan hingga hampir di mana-mana kesetaraan, sehingga . Biarkan menjadi subset yang dapat dihitung dari . Karena adalah aditif yang terhitung, . Tetapi untuk setiap . Karena properti Archimedean dari bilangan real, karena , ketidaksetaraan berlaku untuk setiap jika dan hanya jika $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$ , menyatakan bahwa . Dari asumsi kontinuitas absolut maka .

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

— Zen
sumber

Variabel acak kontinu tidak harus benar-benar kontinu (bisa tidak memiliki kepadatan.)

— Zhanxiong

Omong kosong. "Variabel acak berkelanjutan" adalah nama informal untuk "variabel acak yang benar-benar berkelanjutan sehubungan dengan ukuran Lebesgue". Karenanya, Radon-Nikodym menjamin bahwa ada kepadatan. Variabel acak dengan distribusi tunggal (misalnya Cantor) adalah hal yang berbeda. Anda menyesatkan calon siswa dengan komentar palsu Anda.

— Zen

Saat Anda mengkritik seseorang, tunjukkan kutipan yang Anda maksud. Buku teks probabilitas mana yang mengatakan bahwa "Variabel acak kontinu" adalah nama informal untuk "variabel acak yang benar-benar berkelanjutan sehubungan dengan ukuran Lebesgue" ? Selain itu, masalah ini dapat diselesaikan tanpa memerlukan memiliki kepadatan, lihat bukti saya di bawah ini.

X

$X$

— Zhanxiong

Wikipedia tidak setuju dengan Anda, @Solitary: " Distribusi probabilitas kontinu adalah distribusi probabilitas yang memiliki fungsi kepadatan probabilitas. Matematikawan juga menyebut distribusi semacam itu benar-benar kontinu [...]".

— Amoeba berkata Reinstate Monica

$X$ adalah variabel acak kontinu berarti fungsi distribusinya kontinu . Ini adalah satu-satunya syarat yang kita miliki tetapi dari mana kita dapat memperoleh bahwa . $F$ $P(X = x) = 0$

Faktanya, dengan kontinuitas , kita memiliki untuk setiap , oleh karena itu: $F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— Zhanxiong
sumber

Jika distribusi rv adalah Cantor, maka fungsi distribusinya adalah kontinu, tetapi adalah variabel acak tunggal; itu bukan variabel acak kontinu.

X

$X$

X

$X$

— Zen

Teman saya, ini sebenarnya bisa menjadi contoh balasan untuk jawaban Anda sendiri, bukan milik saya. Karena keberadaan singular rv kontinu seperti itu, maka perlu untuk membedakan rv kontinu absolut dan rv kontinu singular , meskipun fungsi distribusinya semuanya kontinu. Untuk menyamakan rv kontinu dan rv kontinu mutlak adalah ambigu.

— Zhanxiong

Bukan, tetapi Anda tidak akan mendengar, teman saya.

— Zen

Omong-omong, Anda benar-benar "membuktikan" bahwa jika untuk setiap , maka untuk setiap .

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

— Zen