Bagaimana saya bisa menghitung dalam bentuk tertutup?

Bagaimana seseorang dapat mengevaluasi harapan CDF normal kuadrat dalam bentuk tertutup?

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

Di sini, , adalah bilangan real, , dan dan adalah fungsi kepadatan dan distribusi dari variabel acak normal standar, masing-masing. $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— Andrei
sumber

Nah di mana Anda terjebak? Sudahkah Anda mencoba untuk mengevaluasinya? Mungkin menggunakan fakta bahwa

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— stoched

Saya mencoba untuk mengevaluasi integral, menggunakan integrasi oleh bagian-bagian dan teknik (sederhana) lainnya, tetapi itu tidak membawa saya ke mana pun. Juga, saya sebenarnya mulai dari varians untuk sampai ke sini. Saya menemukan pertanyaan serupa ( stats.stackexchange.com/questions/61080/… ), tetapi memperluas ke CDF kuadrat tampaknya tidak sepele.

— Andrei

Sudahkah Anda mempertimbangkan untuk menggunakan koordinat kutub?

— StatsStudent

Tidak, belum, bisakah Anda sedikit detail?

— Andrei

Jika dan , maka didistribusikan secara seragam antara 0 dan 1. Momen keduanya adalah . Saya ingat mencoba menghitung sesuatu seperti apa yang Anda minta umum dan , tetapi saya tidak menemukan solusi bentuk tertutup.

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst

Seperti disebutkan dalam komentar saya di atas, periksa Wikipedia untuk daftar integral fungsi Gaussian. Menggunakan notasi Anda, ia memberi mana adalah fungsi Owen T yang didefinisikan oleh

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

Jika Anda memasukkan Anda akan mendapatkan seperti yang ditunjukkan oleh komentar Anda. $a=1,b=0$ $1 \over 3$

— soakley
sumber

Terima kasih banyak, ini persis apa yang saya cari.

— Andrei