Bagaimana cara menghasilkan matriks ortogonal acak yang seragam dari determinan positif?

Saya mungkin punya pertanyaan konyol tentang yang, saya harus akui, saya bingung. Bayangkan berulang-ulang menghasilkan matriks orthogonal acak (ortonormal) terdistribusi seragam beberapa ukuran . Terkadang matriks yang dihasilkan memiliki determinan dan terkadang memiliki determinan . (Hanya ada dua nilai yang mungkin. Dari sudut pandang rotasi ortogonal berarti ada juga satu refleksi tambahan selain rotasi.) $p$ $1$ $-1$ $\det=-1$

Kita dapat mengubah tanda $\det$ dari matriks ortogonal dari minus ke plus dengan mengubah tanda salah satu (atau, lebih umum, jumlah ganjil) kolomnya.

Pertanyaan saya adalah: mengingat bahwa kita menghasilkan matriks acak berulang kali, akankah kita memperkenalkan beberapa bias dalam sifat acak seragam mereka jika setiap kali kita memilih untuk mengembalikan tanda hanya kolom tertentu (katakanlah, selalu 1 atau selalu terakhir)? Atau harus kita harus memilih kolom secara acak untuk menjaga matriks mewakili acak koleksi terdistribusi secara merata?

— ttnphns
sumber

Pilihan kolom tidak masalah: distribusi yang dihasilkan pada matriks ortogonal khusus, $SO(n)$ , masih seragam.

Saya akan menjelaskan ini dengan menggunakan argumen yang meluas, dengan cara yang jelas, untuk banyak pertanyaan terkait tentang generasi seragam elemen kelompok. Setiap langkah dari argumen ini sepele, tidak memerlukan apa-apa selain referensi ke definisi yang sesuai atau perhitungan sederhana (seperti mencatat bahwa matriks adalah ortogonal dan invers terbalik). $\mathbb{I}_1$

Argumennya adalah generalisasi dari situasi yang akrab. Pertimbangkan tugas menggambar positif bilangan real sesuai dengan distribusi yang kontinu ditentukan . Ini dapat dilakukan dengan menggambar bilangan real apa pun dari distribusi berkelanjutan dan meniadakan hasilnya, jika perlu, untuk menjamin nilai positif (hampir pasti). Agar proses ini memiliki distribusi , harus memiliki properti itu $F$ $G$ $F$ $G$

G (x) - G (- x) = F (x) .

$G(x) - G(-x) = F(x).$

Cara paling sederhana untuk mencapai ini adalah ketika simetris di sekitar sehingga , melibatkan : semua probabilitas positif kepadatan hanya dua kali lipat dan semua hasil negatif dihilangkan. Hubungan yang akrab antara distribusi setengah normal ( ) dan distribusi normal ( ) adalah dari jenis ini. $G$ $0$ $G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$ $F(x) = 2G(x) - 1$ $F$ $G$

Berikut ini, grup memainkan peran bilangan real bukan nol (dianggap sebagai grup multiplikasi ) dan subkelompoknya memainkan peran bilangan real positif . Ukuran Haar adalah invarian di bawah negasi, jadi ketika "dilipat" dari ke , distribusi nilai-nilai positif tidak berubah . (Ukuran ini, sayangnya, tidak dapat dinormalisasi ke ukuran probabilitas - tetapi itu adalah satu-satunya cara di mana analogi rusak.) $O(n)$ $SO(n)$ $\mathbb{R}_{+}$ $dx/x$ $\mathbb{R}-\{0\}$ $\mathbb{R}_{+}$

Meniadakan kolom spesifik dari matriks ortogonal (ketika determinannya negatif) adalah analog meniadakan bilangan real negatif untuk melipatnya ke dalam subkelompok positif. Secara lebih umum, Anda dapat memilih di muka setiap matriks ortogonal dari penentu negatif dan menggunakannya sebagai ganti : hasilnya akan sama. $\mathbb{J}$ $\mathbb{I}_1$

Meskipun pertanyaannya dirumuskan dalam hal menghasilkan variabel acak, itu benar-benar bertanya tentang distribusi probabilitas pada kelompok matriks dan . Hubungan antara kelompok-kelompok ini dijelaskan dalam istilah matriks ortogonal $O(n, \mathbb{R}) = O(n)$ $SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

I_{1} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})

$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$

karena meniadakan kolom pertama dari matriks ortogonal berarti mengalikan kanan dengan . Perhatikan bahwa dan adalah persatuan terputus-putus $\mathbb X$ $\mathbb{X}$ $\mathbb{I}_1$ $SO(n)\subset O(n)$ $O(n)$

O (n) = S O (n) \cup S O (n) I_{1}^{- 1} .

$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$

Dengan diberi ruang probabilitas didefinisikan pada , proses yang dijelaskan dalam pertanyaan mendefinisikan peta $(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$ $O(n)$

f : O (n) \to S O (n)

$f:O(n)\to SO(n)$

dengan pengaturan

f (X) = X

$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$

ketika dan $\mathbb{X}\in SO(n)$

f (X) = X I_{1}

$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$

untuk . $\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

Pertanyaannya adalah tentang menghasilkan elemen acak dalam dengan mendapatkan elemen acak : yaitu, dengan "mendorong mereka ke depan" melalui untuk menghasilkan . Pushforward menciptakan ruang probabilitas dengan $SO(n)$ $\omega\in O(n)$ $f$ $f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$ $(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

S^{'} = f_{*} S = {f (E) | E \subset S}

$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$

dan

P^{'} (E) = (f_{*} P) (E) = P (f^{- 1} (E)) = P (E \cup E I_{1})

$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$

untuk semua . $E \subset \mathfrak{S}^\prime$

Dengan asumsi penggandaan yang benar dengan adalah menjaga ukuran, dan mencatat bahwa dalam apa pun , akan segera diikuti untuk semua , $\mathbb{I}_1$ $E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$ $E\in\mathfrak{S}^\prime$

P^{'} (E) = P (E \cup E I_{1}^{- 1}) = P (E) + P (E I_{1}^{- 1}) = 2 P (E) .

$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$

Khususnya, ketika invarian dengan perkalian kanan dalam (yang merupakan arti "seragam"), fakta yang jelas bahwa dan kebalikannya (yang terjadi sama dengan sendiri) keduanya ortogonal berarti pijakan di atas, menunjukkan bahwa juga seragam. Jadi tidak perlu memilih kolom acak untuk negasi. $\mathbb{P}$ $O(n)$ $\mathbb{I}_1$ $\mathbb{I}_1$ $\mathbb{P}^\prime$

— whuber
sumber

+1. Ini adalah artikel yang sangat bagus, terima kasih telah mengirimkan jawaban ini.

— amoeba

Jawaban yang luar biasa. Tetapi mulai dari The question is concerned about generatingsaya merasa sulit mendorong saya maju melalui simbolisme. Bisakah Anda meringkas alasannya dengan kata-kata , untuk orang awam yang lebih cepat?

— ttnphns