Bagaimana Anda menghitung kesalahan standar untuk transformasi MLE?

Saya perlu membuat kesimpulan tentang parameter positif . Untuk mengakomodir kepositifan, saya memvariasikan ulang . Menggunakan rutin MLE saya menghitung estimasi titik dan se untuk . Properti invarian dari MLE secara langsung memberi saya estimasi titik untuk , tapi saya tidak yakin bagaimana menghitung se untuk . Terima kasih sebelumnya atas saran atau referensi. $p$ $p=\exp(q)$ $q$ $p$ $p$

maximum-likelihood standard-error delta-method

— Marcel
sumber

Tidak bisakah Anda menggunakan rutin MLE yang sama untuk menghitung estimasi titik dan mencari

secara langsung?

p

$p$

— Whuber

The Metode Delta digunakan untuk tujuan ini. Dalam beberapa standar asumsi keteraturan , kita tahu untuk adalah sekitar (yaitu asimtotik) didistribusikan sebagai $\hat{\theta}$ $\theta$

\hat{θ} \sim N (θ, I^{- 1} (θ))

$\hat{\theta} \sim N(\theta, \mathcal{I}^{-1}(\theta))$

di mana adalah kebalikan dari informasi Fisher untuk seluruh sampel, dievaluasi pada dan menunjukkan distribusi normal dengan mean dan varians . The invarian fungsional dari MLE mengatakan bahwa MLE dari , di mana adalah beberapa fungsi yang diketahui, adalah (seperti yang Anda menunjukkan) dan memiliki distribusi perkiraan $\mathcal{I}^{-1}(\theta)$ $\theta$ $N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu$ $\sigma^{2}$ $g(\theta)$ $g$ $g(\hat{\theta})$

g (\hat{θ}) \sim N (g (θ), I^{- 1} (θ) [g^{'} (θ)]^{2})

$g(\hat{\theta}) \sim N( g(\theta), \mathcal{I}^{-1}(\theta) [g'(\theta)]^{2} )$

di mana Anda bisa pasang di estimator yang konsisten untuk jumlah yang tidak diketahui (yaitu plug in mana muncul dalam varians). Saya berasumsi kesalahan standar yang Anda miliki didasarkan pada informasi Fisher (karena Anda memiliki MLE). Nyatakan bahwa standard error oleh . Kemudian standard error , seperti dalam contoh Anda, adalah $\hat{\theta}$ $\theta$ $s$ $e^{\hat{\theta} }$

\sqrt{s^{2} e^{2 \hat{θ}}}

$\sqrt{s^{2}e^{2 \hat{\theta}}}$

Saya mungkin menafsirkan Anda mundur dan pada kenyataannya Anda memiliki varian MLE dari dan ingin varian MLE dari dalam hal ini standarnya adalah $\theta$ $\log(\theta)$

\sqrt{s^{2} / {\hat{θ}}^{2}}

$\sqrt{ s^{2}/\hat{\theta}^{2} }$

— Makro
sumber

Hanya catatan tambahan: ada juga ekstensi multivariat yang sesuai di mana turunannya digantikan oleh gradien, dan perkaliannya harus berupa perkalian matriks, jadi ada sedikit lebih banyak sakit kepala dalam mencari tahu ke mana arah transposnya.

— Tugas

g (\hat{θ})

$g(\hat{\theta})$

\nabla g (θ)^{'} I (θ)^{- 1} \nabla g (θ)

$\nabla g(\theta)' \mathcal{I}(\theta)^{-1} \nabla g(\theta)$

\hat{θ}

$\hat{\theta}$

Terima kasih @ MånsT, saya juga mengklarifikasi maksud saya secara asimptotik ketika saya mengatakan kira-kira :)

— Makro

$p$ $\hat{p}$ $[q_1, q_2]$ $q$ $[\exp(q_1), \exp(q_2)]$ $p$ $q$ $p$

— NRH
sumber