Memahami rumus diferensiasi fraksional

Saya memiliki waktu seri dan saya ingin model itu sebagai proses ARFIMA (alias Farima). Jika y t terintegrasi dari (pecahan) agar d , saya ingin fraksional-perbedaan itu untuk membuatnya diam.$y_t$$y_t$$d$

Pertanyaan : apakah rumus berikut ini mendefinisikan pembeda fraksional benar?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(Di sini menunjukkan pembedaan fraksional dari urutan d .)$\Delta^d$$d$

Saya mendasarkan rumus pada artikel Wikipedia ini pada ARFIMA , Bab ARFIMA ( ), tetapi saya tidak yakin apakah saya mendapatkannya dengan benar.$0,d,0$

Ya sepertinya benar. Filter fraksional ditentukan oleh ekspansi binomial:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

Perhatikan bahwa adalah operator lag dan filter ini tidak dapat disederhanakan ketika 0 < d < 1 . Sekarang pertimbangkan prosesnya:$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

Memperluas, kami mendapatkan:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

yang dapat ditulis sebagai:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

Lihat Dinamika Harga Aset, Volatilitas dan Prediksi oleh Stephen J. Taylor (hlm. 243 dalam edisi 2007) atau Time Series: Theory and Methods oleh Brockwell dan Davis untuk referensi lebih lanjut.