Apa itu Wilayah Kepadatan Tertinggi (HDR)?

Dalam kesimpulan statistik , masalah 9.6b, "Wilayah Kepadatan Tertinggi (HDR)" disebutkan. Namun, saya tidak menemukan definisi istilah ini di buku ini.

Satu istilah serupa adalah Kepadatan Posterior Tertinggi (HPD). Tapi itu tidak cocok dalam konteks ini, karena 9.6b tidak menyebutkan apa pun tentang prior. Dan dalam solusi yang disarankan , itu hanya mengatakan bahwa "jelas adalah HDR".$c(y)$

Atau apakah HDR wilayah yang mengandung mode pdf?

Apa itu Wilayah Kepadatan Tertinggi (HDR)?

Saya merekomendasikan artikel Rob Hyndman 1996 "Komputasi dan Grafik Wilayah Kepadatan Tertinggi" di The American Statistician . Berikut adalah definisi HDR, yang diambil dari artikel itu:

Biarkan menjadi fungsi kepadatan dari variabel acak . Maka HDR adalah subset dari ruang sampel sedemikian rupa sehingga mana adalah konstanta terbesar sehingga X 100 ( 1 - α ) % R ( f α ) X R ( f α ) = { x : f ( x ) ≥ f α } , f α P ( X ∈ R ( f α ) ) ≥ 1 - α $f(x)$$X$$100(1-\alpha)\%$$R(f_\alpha)$$X$

$$R(f_\alpha) = \{x\colon f(x)\geq f_\alpha\},$$ $f_\alpha$ $$P\big(X\in R(f_\alpha)\big)\geq 1-\alpha.$$

Gambar 1 dari artikel tersebut menggambarkan perbedaan antara 75% HDR (jadi ) dan berbagai Daerah Kemungkinan 75% lainnya untuk campuran dua normals ( adalah -th, mean dan yang standar deviasi dari kepadatan):c q q μ $\alpha=0.25$$c_q$$q$$\mu$$\sigma$

Gagasan dalam satu dimensi adalah untuk mengambil garis horizontal dan menggesernya ke atas (ke ) sampai area di atasnya dan di bawah kepadatan adalah . Maka HDR adalah proyeksi ke sumbu area ini.$y=f_\alpha$$1-\alpha$$R_\alpha$$x$

Tentu saja, semua ini bekerja dengan kepadatan apa pun, baik posterior Bayesian atau lainnya.

Berikut ini tautan ke kode R, yang merupakan hdrcdepaket (dan ke artikel di JSTOR).

Kepadatan posterior tertinggi [interval] pada dasarnya adalah interval terpendek pada kepadatan posterior untuk beberapa tingkat kepercayaan tertentu. Wilayah kepadatan tertinggi mungkin adalah ide yang sama diterapkan pada kepadatan sewenang-wenang, jadi belum tentu distribusi posterior.

$1-\alpha$$q_{1-\alpha/2 + c}$$q_{\alpha/2 -c}$

$f(\cdot)$$a$$b$$f(a) = f(b)$