Perbedaan dua variabel acak logid normal

Biarkan dan menjadi 2 iidrv di mana . Saya ingin tahu distribusi untuk .X 2 log ( X 1 ) , log ( X 2 ) ∼ N ( μ , σ ) X 1 - X $X_1$$X_2$$\log(X_1),\log(X_2) \sim N(\mu,\sigma)$$X_1 - X_2$

Yang terbaik yang bisa saya lakukan adalah mengambil deret Taylor dari keduanya dan mendapatkan bahwa perbedaannya adalah jumlah perbedaan antara dua rv normal dan dua rv kuadrat-ku selain sisa perbedaan antara sisa istilah. Apakah ada cara yang lebih mudah untuk mendapatkan distribusi perbedaan antara 2 iid log-normal rv's?

Ini masalah yang sulit. Saya pertama kali berpikir tentang menggunakan (perkiraan) fungsi penghasil momen dari distribusi lognormal. Itu tidak berhasil, seperti yang akan saya jelaskan. Tetapi pertama-tama beberapa notasi:

Biarkan menjadi kepadatan normal standar dan Φ fungsi distribusi kumulatif yang sesuai. Kami hanya akan menganalisis distribusi kasus lognormal l n N ( 0 , 1 ) , yang memiliki fungsi kepadatan f ( x ) = $\phi$$\Phi$$lnN(0,1)$ dan fungsi distribusi kumulatif F(x)=Φ(lnx) MisalkanXdanYadalah variabel acak independen dengan distribusi lognormal di atas. Kami tertarik pada distribusiD=X-Y, yang merupakan distribusi simetris dengan rata-rata nol. MariM(t)=EetXmenjadi fungsi pembangkit momenX. Ini didefinisikan hanya untuk

$$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac12 (\ln x)^2}$$ $$F(x) =\Phi(\ln x)$$ $X$$Y$$D=X-Y$$M(t) = \DeclareMathOperator{\E}{E} \E e^{tX}$$X$ , jadi tidak didefinisikan dalam interval terbuka yang berisi nol. Fungsi pembangkit momen untuk D adalah M D ( t ) = E e t ( X - Y ) = E e t X E e - t Y = M ( t ) M ( - t ) Jadi, fungsi menghasilkan momen untuk D hanya didefinisikan untuk t = $t\in (-\infty,0]$$D$$M_D(t)=\E e^{t(X-Y)}= \E e^{tX} \E e^{-tY}= M(t)M(-t)$$D$$t=0$, jadi tidak terlalu berguna.

$D$$t\ge 0$

$$\begin{align} P(D \le t) &= P(X-Y\le t) \\ &= \int_0^\infty P(X-y\le t | Y=y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty P(X\le t+y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty F(t+y) f(y) \; dy \end{align}$$ $t<0$$P(D\le t)=1-P(D\le |t|)$

Ungkapan ini dapat digunakan untuk integrasi numerik atau sebagai dasar untuk simulasi. Tes pertama:

 integrate(function(y) plnorm(y)*dlnorm(y), lower=0,  upper=+Inf)
  0.5 with absolute error < 2.3e-06

yang jelas benar. Mari kita selesaikan ini di dalam suatu fungsi:

pDIFF  <-  function(t) {
    d  <-  t
    for (tt in seq(along=t)) {
        if (t[tt] >= 0.0) d[tt] <- integrate(function(y) plnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                         lower=0.0,  upper=+Inf)$value else
                          d[tt] <- 1-integrate(function(y) plnorm(y+abs(t[tt]))*dlnorm(y),
                                         lower=0.0, upper=+Inf)$value
    }
    return(d)
}

> plot(pDIFF,  from=-5,  to=5)

pemberian yang mana:

Kemudian kita dapat menemukan fungsi kerapatan dengan membedakan di bawah tanda integral, memperoleh

dDIFF  <-  function(t) {
       d  <- t; t<- abs(t)
       for (tt in seq(along=t)) {
           d[tt]  <-  integrate(function(y) dlnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                lower=0.0,  upper=+Inf)$value
       }
       return(d)
}

yang dapat kami uji:

> integrate(dDIFF,  lower=-Inf,  upper=+Inf)
0.9999999 with absolute error < 1.3e-05

Dan memplot kepadatan yang kita dapatkan:

plot(dDIFF,  from=-5,  to=5)

Saya juga mencoba untuk mendapatkan beberapa perkiraan analitik, tetapi sejauh ini tidak berhasil, ini bukan masalah yang mudah. Tetapi integrasi numerik seperti di atas, diprogram dalam R sangat cepat pada perangkat keras modern, sehingga merupakan alternatif yang baik yang mungkin harus digunakan lebih banyak.

$X$$Y$

$$\begin{align} \Pr\left(\frac{X}{Y} \leq t\right) &= \Pr\left(\log\left(\frac{X}{Y}\right) \leq \log(t) \right) \\ &= \Pr(\log(X) - \log(Y) \leq \log(t)) \\ &\sim \mathcal{N}(0, 2 \sigma^2) \end{align}$$

Tergantung pada aplikasi Anda, ini dapat melayani kebutuhan Anda.