Apa yang setara dengan cdf dari MCMC untuk pdf?

Dalam hubungannya dengan pertanyaan yang Divalidasi Lintas dalam mensimulasikan dari kopula tertentu, yaitu, multivarian cdf didefinisikan pada , saya mulai bertanya-tanya tentang gambar yang lebih besar, yaitu bagaimana, ketika diberikan fungsi seperti itu, dapatkah seseorang mencari algoritma umum untuk disimulasikan dari distribusi probabilitas yang sesuai? $C(u_1,\ldots,u_k)$ $[0,1]^k$

Jelas, salah satu solusi adalah untuk membedakan kali untuk menghasilkan yang sesuai pdf dan kemudian memanggil algoritma MCMC generik seperti Metropolis-Hastings untuk menghasilkan sampel dari (atau ). $C$ $k$ $\kappa(u_1,\ldots,u_k)$ $C$ $\kappa$

Selain: Solusi lain adalah tetap menggunakan Archimedian copulas, menggunakan transformasi Laplace-Stieljes untuk simulasi, tetapi ini tidak selalu memungkinkan dalam praktiknya. Seperti yang saya temukan ketika mencoba untuk menyelesaikan pertanyaan tersebut di atas .

Pertanyaan saya adalah tentang menghindari langkah yang membedakan ini dengan cara yang umum, jika memungkinkan.

— Xi'an
sumber

Tautan "transformasi Laplace-Stieljes" tampaknya rusak sekarang.

— jochen

Ini adalah upaya yang saya tidak sepenuhnya menyelesaikan, tetapi terlalu lama untuk bagian komentar. Mungkin berguna untuk meletakkannya di sini sebagai alternatif dasar lain untuk sangat rendah . Itu tidak memerlukan diferensiasi eksplisit + MCMC (tetapi melakukan diferensiasi numerik, tanpa MCMC). $k$

Algoritma

Untuk kecil : $\varepsilon > 0$

Gambar . Ini dapat dengan mudah dilakukan dengan menggambar dan menghitung (yang, jika ada, dapat dengan mudah dilakukan secara numerik). Ini adalah undian dari pdf . $u_1 \sim C_1 \equiv C(U_1 = u_1,U_2 = 1,\ldots, U_k = 1)$ $\eta \sim \text{Uniform}[0,1]$ $C_1^{-1}(\eta)$ $u_1 \sim \kappa(u_1)$
Untuk
- Tentukan yang dapat dihitung sebagai selisih dievaluasi di berbagai titik (yang dengan cara naif membutuhkan evaluasi untuk setiap evaluasi ). adalah kondisional marjinal -disetujui diberikan . $D_{j}^{(ε)} (u_{j} | u_{1}, \dots, u_{j - 1}) \equiv Pr (u_{1} - \frac{ε}{2} \leq U_{1} \leq u_{1} + \frac{ε}{2} \land \dots \land u_{j - 1} - \frac{ε}{2} \leq U_{j - 1} \leq u_{j - 1} + \frac{ε}{2} \land U_{j} \leq u_{j} \land U_{j + 1} \leq 1 \dots \land U_{k} \leq 1),$ $D_j^{(\varepsilon)}(u_j|u_1,\ldots,u_{j-1}) \equiv \Pr\left( u_1 - \frac{\varepsilon}{2} \le U_1 \le u_1 + \frac{\varepsilon}{2} \land \dots \land u_{j-1} - \frac{\varepsilon}{2} \le U_{j-1} \le u_{j-1} + \frac{\varepsilon}{2} \land U_{j} \le u_j \land U_{j+1} \le 1 \dots \land U_{k} \le 1\right),$ $C$ $O(2^{j-1})$ $C$ $D_j^{(\varepsilon)}$ $D_j^{(\varepsilon)}$ $\varepsilon$ $u_j$ $u_1, \ldots, u_{j-1}$
- Gambarkan sesuai poin 1, yang lagi-lagi harus mudah dilakukan dengan inversi numerik. $u_j \sim D_j^{(\varepsilon)}(u_j|u_1,\ldots,u_{j-1})$

Diskusi

Algoritma ini harus menghasilkan sampel iid dari -pendugaan , di mana hanya bergantung pada ketepatan angka. Ada beberapa teknik praktis untuk memperbaiki perkiraan dan membuatnya stabil secara numerik. $\varepsilon$ $C(u_1,\ldots,u_k)$ $\varepsilon$

Masalah yang jelas adalah bahwa kompleksitas komputasi berskala sebagai , jadi, dengan murah hati, ini tidak terlalu umum dalam hal (tetapi contoh yang Anda tautkan memiliki , jadi mungkin metode ini adalah tidak sepenuhnya tidak berguna - Saya tidak terbiasa dengan skenario tipikal di mana Anda akan memiliki akses ke cdf). Di sisi lain, untuk distribusi berdimensi sangat rendah dapat bekerja, dan biayanya dikompensasi oleh fakta bahwa, tidak seperti solusi generik lain dari "diferensiasi + MCMC", tidak perlu menghitung turunan, sampel iid dan ada ada penyetelan (selain pilihan $O(2^{k})$ $k$ $k = 3$ $\varepsilon$ , Yang seharusnya hanya sesuatu yang sedikit di atas presisi mesin). Dan mungkin ada cara untuk membuat ini lebih baik daripada pendekatan naif.

Seperti yang saya sebutkan, ini di atas kepala saya sehingga mungkin ada masalah lain.

— Lacerbi
sumber