Apakah distribusi binomial memiliki varians sekecil mungkin di antara semua distribusi "masuk akal" yang dapat memodelkan pemilihan biner?

Bayangkan sebuah pemilihan di mana orang membuat pilihan biner: mereka memilih A atau menentangnya. Hasilnya adalah bahwa orang memilih untuk A, dan hasilnya A adalah . $n$ $m$ $p=m/n$

Jika saya ingin memodelkan pemilihan ini, saya dapat mengasumsikan bahwa setiap orang memilih A secara independen dengan probabilitas , yang mengarah ke distribusi binomial suara:Distribusi ini memiliki rata-rata dan varians . $p$

votes for A \sim B i n o m (n, p) .

$\text{votes for A}\sim\mathsf{Binom}(n,p).$

m = n p

$m=np$

n p (1 - p)

$np(1-p)$

Saya bisa membuat asumsi lain juga. Sebagai contoh, saya dapat berasumsi bahwa probabilitas sendiri merupakan variabel acak yang berasal dari beberapa distribusi (misalnya beta); ini dapat menyebabkan distribusi beta-binomial suara untuk A. Atau saya dapat berasumsi bahwa orang memilih dalam kelompok , di mana setiap kelompok orang membuat pilihan yang sama dan itu adalah A dengan probabilitas . Ini akan mengarah pada distribusi binomial dengan varian yang lebih besar. Dalam semua kasus ini, varian dari distribusi yang dihasilkan lebih besar daripada dalam skema binomial paling sederhana. $p$ $k$ $k$ $p$

Bisakah saya membuat klaim bahwa distribusi binomial memiliki varians sekecil mungkin? Dengan kata lain, dapatkah klaim ini dibuat dengan tepat, misalnya dengan menetapkan beberapa kondisi yang masuk akal tentang kemungkinan distribusi? Bagaimana kondisi ini?

Atau mungkin ada beberapa distribusi wajar yang memiliki varian lebih rendah?

Saya dapat membayangkan varians yang lebih rendah, misalnya ketika semua orang setuju sebelumnya tentang bagaimana mereka akan memilih, dan jadi sebenarnya bukan variabel acak, tetapi angka tetap . Maka variansnya adalah nol. Atau mungkin hampir semua dari mereka setuju tetapi beberapa orang tidak, dan kemudian orang dapat memiliki varian kecil di sekitar . Tapi ini terasa seperti selingkuh. Bisakah seseorang memiliki varian yang lebih kecil dari binomial tanpa pengaturan sebelumnya, yaitu ketika setiap orang memberikan suara secara acak? $n$ $\text{votes for A}$ $m$ $m$

— amuba
sumber

Pertanyaan terkait: Apakah data ini kurang tersebar? Jika demikian, mekanisme apa yang dapat menjelaskan hal ini?

— amoeba

Distribusi binomial poisson memiliki varians maksimum ketika semua p_i sama (yaitu ketika direduksi menjadi binomial) untuk mean tetap dan n. en.m.wikipedia.org/wiki/Poisson_binomial_distribution

— seanv507

@ seanv507 Terima kasih, ya. Saya menyadari ini sendiri pada tahun 2015, lihat komentar saya di bawah jawaban whuber. Tetapi jika Anda ingin memposting ini sebagai jawaban (menguraikan tentang apa binomial Poisson), saya akan senang untuk mengangkatnya.

— amoeba

Tidak ada .

Misalkan pemilih terdiri dari pasangan menikah. Para suami berkumpul dan memutuskan untuk memilih melawan istri mereka, yang mereka sendiri pilih secara acak. Hasilnya selalu suara untuk masing-masing kandidat, dengan nol varians. $n=2k$ $k$

Anda mungkin menangis busuk karena suami tidak memilih secara acak. Ya, mereka - mereka hanya terikat erat dengan suara acak dari istri mereka. Jika itu mengganggu Anda, ubah sedikit dengan meminta setiap suami membalik sepuluh koin yang adil. Jika kesepuluh adalah kepala, ia akan memilih dengan istrinya; kalau tidak dia memilih melawannya. Anda dapat memeriksa bahwa hasil pemilu masih memiliki varian kecil (meskipun bukan nol), meskipun setiap suara tidak dapat diprediksi.

Inti dari masalah ini terletak pada kovarians negatif antara dua blok suara, pria dan wanita.

— whuber
sumber

Terima kasih, @whuber. Tampaknya ada cara lain untuk mencapai varian yang lebih rendah juga: pemilih harus memilih A dengan probabilitas berbeda yang didistribusikan sekitar . Distribusi senyawa tampaknya dikenal sebagai binomial Poisson, dan jika mean ditetapkan pada , maka varians akan terbesar untuk kasus binomial ketika semua . Jika probabilitas tidak sama, varians tentu akan lebih kecil.

p_{i}

$p_i$

p

$p$

\sum p_{i}

$\sum p_i$

n p

$np$

p_{i} = p

$p_i=p$

— amoeba

Tentu: ada banyak cara untuk mencapai di bawah dispersi (seperti yang saya lihat Anda menyadari terlambat!). Saya hanya berpikir contoh suami-istri ini cukup jelas, lucu, dan mudah diingat untuk layak dituliskan. Karena itu sama dengan jawaban, tidak pantas menguburnya dalam komentar (begitulah awal mulanya kehidupan).

— whuber