Apakah pemesanan cembung menyiratkan dominasi ekor yang benar?

10

Mengingat dua distribusi kontinu $\mathcal{F}_X$ dan $\mathcal{F}_Y$ , Tidak jelas bagi saya apakah hubungan dominasi cembung di antara mereka:

(0) F_{X} <_{c} F_{Y}

$(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

menyiratkan itu

(1) F_{Y}^{- 1} (q) \leq F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0,5, 1]

$(1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1]$

memegang atau jika beberapa hipotesis lebih lanjut diperlukan jika ingin dipertahankan? $(1)$

Definisi dominasi cembung.

Jika dua distribusi kontinu, dan memenuhi: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(2) F_{Y}^{- 1} F_{X} (x) adalah cembung x

$(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x$

[0] lalu kita menulis:

F_{X} <_{c} F_{Y}

$F_X <_c F_Y$

dan mengatakan bahwa lebih tepat miring dari . Karena dan adalah distribusi probabilitas, juga menyiratkan bahwa turunan dari adalah monoton non menurun dan non-negatif [1], bahwa adalah cembung [2], bahwa dan $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $F_X$ $F_Y$ $(2)$ $F_Y^{-1}F_X(x)$ $F_Y^{-1}F_X(x)-x$ $F_X$ $F_{aY+b}$ saling silang paling banyak dua kali [2] dan itu [2], untuk : $\forall a>0,b\in\mathbb{R}$ $\forall p\in[0,0.5]$

\frac{F_{X}^{- 1} (hal)}{F_{Y}^{- 1} (hal)} \geq \frac{F_{X}^{- 1} (1 - hal)}{F_{Y}^{- 1} (1 - hal)} .

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}\geq\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}.$

[0] Zwet, WR van (1964). Transformasi Cembung Variabel Acak. (1964). Amterdam: Mathematish Centrum.
[1] Oja, H. (1981). Tentang Lokasi, Skala, Kemiringan, dan Kurtosis dari Distribusi Univariat. Jurnal Statistik Skandinavia. Vol. 8, hlm. 154-1-168
[2] RA Groeneveld dan G. Meeden. (1984). Mengukur skewness dan kurtosis. Ahli Statistik. 33: 391-399.

probability probability-inequalities distributions

— pengguna603
sumber

1

Saya kira ada beberapa kesalahan dalam ketidaksetaraan terakhir - jika ia memiliki

, simetri akan menyiratkan kesetaraan

\forall p \in [0, 1]

$\forall p \in [0,1]$

, yang pada gilirannya akan menjadi simetris wrt

vs

.

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} = \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)}

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}=\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}$

X

$X$

Y

$Y$

— Juho Kokkala

1

Perhatikan bahwa ada

setelah persamaan (6) dari [2].

α \in (0, \frac{1}{2})

$\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

— Juho Kokkala

Anda benar. Salahku. Saya perbaiki ini sekarang.

— user603

2

Secara umum itu tidak benar. Pertimbangkan misalnya dan $\mu=\frac{3}{8} \delta_{-1}(x)+\frac{1}{4}\delta_0(x)+\frac38 \delta_1(x)$ . $\nu=\frac12\delta_{-\frac12}(x)+\frac12\delta_{\frac12}(x)$

Anda dapat segera melihat bahwa . Namun $\nu\leq_{cx}\mu$ . Namun benar bahwa dari tertentu $F_\mu^{-1}(0.6)=0<\frac12 =F_\nu^{-1}(0.6)$ ,untuk semua . $\bar{q}$ $F_\mu^{-1}(q)<F_\nu^{-1}(q)$ $q>\bar q$

— pengguna123456
sumber

Bisakah Anda menambahkan beberapa penjelasan untuk jawaban ini? Agak pendek untuk standar kami!

— kjetil b halvorsen

4

Ok, saya pikir ini bisa diselesaikan seperti itu (komentar diterima):

Mendenotasikan dan distribusi dan dan mengingat itu $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $X$ $Y$

F_{X} <_{c} F_{Y}

$\mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

menyiratkan (Oja, 1981) bahwa sedemikian rupa sehingga: $\exists z^*\in\mathbb{R}$

F_{Y} (z) < F_{X} (z), \forall z > z^{*} .

$F_Y(z)<F_X(z),\forall z>z^*.$

Karena menggeser tidak mempengaruhi pemesanan cembung, kita dapat mengasumsikan tanpa kehilangan generalitas bahwa telah digeser sehingga: $X$

z^{*} ⩽ min (F_{X}^{- 1} (0,5), F_{Y}^{- 1} (0,5))

$z^*\leqslant\min(F^{-1}_X(0.5),F^{-1}_Y(0.5))$

maka

F_{Y}^{- 1} (q) ⩽ F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0,5, 1] .

$F_Y^{-1}(q) \leqslant F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1].$

Jadi, sepertinya ya , pemesanan cembung menyiratkan dominasi ekor kanan atas (atau lebih tepatnya beberapa versi $\mathcal{F}_X<_c \mathcal{F}_Y$ $F_Y(y)$ $F_X(x)$ dari ) $F_{X+b}(x),\;b\in\mathbb{R}$ $F_X(x)$

— pengguna603
sumber