Berapa varians dari maksimum sampel?

$B$

Var (max_{i} X_{i}) \leq B,

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq B \enspace,$

X = {X_{1}, \dots, X_{M}}

$X = \{ X_1, \ldots, X_M \}$

M

$M$

μ_{1}, \dots, μ_{M}

$\mu_1, \ldots, \mu_M$

σ_{1}^{2}, \dots, σ_{M}^{2}

$\sigma_1^2, \ldots, \sigma_M^2$

Saya dapat menyimpulkan bahwa tetapi batasan ini tampaknya sangat longgar. Tes numerik tampaknya menunjukkan bahwa mungkin merupakan suatu kemungkinan, tetapi saya belum dapat membuktikannya. Bantuan apa pun dihargai.

Var (max_{i} X_{i}) \leq \sum_{i} σ_{i}^{2},

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq \sum_i \sigma_i^2 \enspace,$

B = max_{i} σ_{i}^{2}

$B = \max_i \sigma_i^2$

variance bounds maximum

— Peter
sumber

(Apakah Anda ingin menganggap independen?) Dugaan ini masuk akal tetapi tampaknya salah. Misalnya, lakukan beberapa percobaan di mana iid dengan CDF , , . Varians maksimum mereka, relatif terhadap varian umum mereka, meningkat tanpa terikat ketika tumbuh.

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

1 - x^{1 - s}

$1-x^{1-s}$

1 \leq x \leq \infty

$1\le x\le \infty$

s > 3

$s\gt 3$

M

$M$

— Whuber

@whuber Terima kasih, itu menjelaskan mengapa saya tidak dapat membuktikan dugaan itu :) Saya memang tertarik pada kasus di mana

X_{i}

$X_i$ independen. Hanya untuk memperjelas, saya lebih tertarik pada batasan umum yang hanya menggunakan dua momen pertama. Saya tidak yakin apakah batas umum yang lebih tajam bahkan ada daripada varian umum.

— Peter

Saya harus menunjukkan bahwa jumlah Anda terikat (dengan asumsi itu benar - akan menyenangkan untuk melihat sketsa buktinya) ketat. Sebagai contoh, misalkan

X_{2}, \dots, X_{M}

$X_2,\ldots,X_M$ didukung pada interval

[- \infty, a]

$[-\infty, a]$ dengan varian tidak melebihi

ε^{2}

$\varepsilon^2$ dan biarkan

X_{1}

$X_1$ didukung pada

[a, \infty]

$[a,\infty]$ . Kemudian

max_{i} X_{i} = X_{1}

$\max_i{X_i}=X_1$ as, dengan varian

σ_{1}^{2} \leq σ_{1}^{2} + (M - 1) ε^{2}

$\sigma_1^2\le\sigma_1^2+(M-1)\varepsilon^2$ , tetapi ketidaksetaraan dapat diperketat sebanyak yang Anda suka dengan menyusut

ε^{2}

$\varepsilon^2$ .

— whuber

Untuk data awal, teori nilai ekstrem menyediakan kelas-kelas distribusi tempat sampel maksimum bertemu, dengan kondisi tertentu pada ekor distribusi asli yang memberikan kelas-kelas berbeda dari distribusi asimptotik. Jadi saya ragu bahwa Anda akan dapat memperoleh ikatan yang baik hanya berdasarkan pada dua momen saja, meskipun saya hanya akrab dengan teori.

— Tugas

Jawaban:

Untuk setiap variabel acak , yang terbaik umum terikat adalah sebagaimana tercantum dalam pertanyaan awal. Berikut ini adalah sketsa bukti: Jika X, Y adalah IID, maka . Diberikan vektor variabel yang mungkin tergantung $n$ $X_i$ $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$ $E[(X-Y)^2] =2\Var(X)$ , misalkan menjadi vektor independen dengan distribusi gabungan yang sama. Untuk setiap , kita memiliki ikatan dengan serikat bahwa $(X_1,\ldots ,X_n)$ $(Y_1,\ldots ,Y_n)$ $r>0$ $P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$ , Dan mengintegrasikan ini dari ke hasil ketidaksetaraan diklaim. $dr$ $0$ $\infty$

Jika adalah indikator IID dari peristiwa probabilitas , maka adalah indikator kejadian probabilitas . Memperbaiki dan membiarkan cenderung ke nol, kita mendapatkan dan $X_i$ $\epsilon$ $\max X_i$ $n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$ $n$ $\epsilon$ $\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$ . $\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2\epsilon^2)$

— Yuval Peres
sumber

Pertanyaan tentang MathOverflow terkait dengan pertanyaan ini.

Untuk variabel acak IID, tertinggi disebut statistik urutan . $k$

Bahkan untuk variabel acak IID Bernoulli, varians dari statistik urutan apa pun selain median dapat lebih besar dari varians populasi. Sebagai contoh, jika adalah dengan probabilitas dan dengan probabilitas dan , maka maksimal adalah dengan probabilitas , sehingga varians dari populasi adalah sementara varians dari maksimum adalah sekitar . $X_i$ $1$ $1/10$ $0$ $9/10$ $M=10$ $1$ $\approx 1- 1/e$ $0.09$ $0.23$

Berikut adalah dua makalah tentang varian statistik pesanan:

Yang, H. (1982) "Pada varian median dan beberapa statistik urutan lainnya." Banteng. Inst. Matematika Acad. Sinica, 10 (2) hal. 197-204

Papadatos, N. (1995) "Varians maksimum dari statistik pesanan." Ann. Inst. Statist. Matematika., 47 (1) hlm. 185-193

Saya percaya batas atas pada varian maksimum dalam makalah kedua adalah . Mereka menunjukkan bahwa kesetaraan tidak dapat terjadi, tetapi nilai yang lebih rendah dapat terjadi untuk variabel acak IID Bernoulli. $M\sigma^2$

— Douglas Zare
sumber