Mengapa nls () memberi saya kesalahan "matriks gradien singular pada estimasi parameter awal"?

Saya memiliki beberapa data dasar tentang pengurangan emisi dan biaya per mobil:

q24 <- read.table(text = "reductions  cost.per.car
    50  45
    55  55
    60  62
    65  70
    70  80
    75  90
    80  100
    85  200
    90  375
    95  600
    ",header = TRUE, sep = "")

Saya tahu bahwa ini adalah fungsi eksponensial, jadi saya berharap dapat menemukan model yang cocok dengan:

    model <- nls(cost.per.car ~ a * exp(b * reductions) + c, 
         data = q24, 
         start = list(a=1, b=1, c=0))

tapi saya mendapatkan kesalahan:

Error in nlsModel(formula, mf, start, wts) : 
  singular gradient matrix at initial parameter estimates

Saya telah membaca banyak pertanyaan tentang kesalahan yang saya lihat dan saya temui bahwa masalahnya mungkin karena saya membutuhkan nilai yang lebih baik / berbeda start( initial parameter estimatesmasuk akal sedikit) tetapi saya tidak yakin, mengingat data yang saya miliki, bagaimana saya akan memperkirakan parameter yang lebih baik.

Secara otomatis menemukan nilai awal yang baik untuk model nonlinear adalah seni. (Ini relatif mudah untuk dataset satu kali ketika Anda hanya bisa memplot data dan membuat beberapa tebakan yang bagus secara visual.) Salah satu pendekatan adalah membuat linierisasi model dan menggunakan estimasi kuadrat terkecil.

Dalam hal ini, model memiliki bentuk

untuk parameter yang tidak diketahui . Kehadiran eksponensial mendorong kita untuk menggunakan logaritma - tetapi penambahan membuatnya sulit untuk melakukan itu. Perhatikan, meskipun, bahwa jika positif maka akan kurang dari nilai yang diharapkan terkecil dari --dan karena itu mungkin sedikit kurang dari yang terkecil diamati nilai . (Jika bisa negatif Anda juga harus mempertimbangkan nilai yang sedikit lebih besar dari nilai diamati terbesar .)c a c Y Y a c $a,b,c$$c$$a$$c$$Y$$Y$$a$$c$$Y$

Mari kita jaga dengan menggunakan estimasi awal kira-kira setengah dari minimum pengamatan . Model sekarang dapat ditulis ulang tanpa istilah aditif berduri sebagaic 0 y $c$$c_0$$y_i$

Bahwa kita dapat mengambil log dari:

Itu adalah pendekatan linier ke model. Baik dan$\log(a)$$b$

Berikut adalah kode yang direvisi:

c.0 <- min(q24$cost.per.car) * 0.5
model.0 <- lm(log(cost.per.car - c.0) ~ reductions, data=q24)
start <- list(a=exp(coef(model.0)[1]), b=coef(model.0)[2], c=c.0)
model <- nls(cost.per.car ~ a * exp(b * reductions) + c, data = q24, start = start)

Outputnya (untuk data contoh) adalah

Nonlinear regression model
  model: cost.per.car ~ a * exp(b * reductions) + c
   data: q24
        a         b         c 
 0.003289  0.126805 48.487386 
 residual sum-of-squares: 2243

Number of iterations to convergence: 38 
Achieved convergence tolerance: 1.374e-06

Konvergensi terlihat bagus. Mari kita plot itu:

plot(q24)
p <- coef(model)
curve(p["a"] * exp(p["b"] * x) + p["c"], lwd=2, col="Red", add=TRUE)

Itu bekerja dengan baik!

$y$$a\lt 0$

Metode lain untuk memperkirakan nilai awal bergantung pada pemahaman apa artinya, yang dapat didasarkan pada pengalaman, teori fisik, dll. Contoh tambahan dari kesesuaian nonlinier (cukup sulit) yang nilai awalnya dapat ditentukan dengan cara ini dijelaskan dalam jawaban saya di /stats//a/15769 .

Analisis visual sebar (untuk menentukan perkiraan parameter awal) dijelaskan dan diilustrasikan di /stats//a/32832 .

Dalam beberapa keadaan, urutan cocok nonlinear dibuat di mana Anda dapat mengharapkan solusi berubah perlahan. Dalam hal ini, sering kali nyaman (dan cepat) untuk menggunakan solusi sebelumnya sebagai perkiraan awal untuk yang berikutnya . Saya ingat menggunakan teknik ini (tanpa komentar) di /stats//a/63169 .

Pustaka ini dapat menyelesaikan masalah saya dengan nls singular gradient: http://www.r-bloggers.com/a-better-nls/ Contoh:

library(minpack.lm)
nlsLM(function, start=list(variable=2,variable2=12))

Jadi ... Saya rasa saya salah membaca ini sebagai fungsi eksponensial. Yang saya butuhkan adalahpoly()

model <- lm(cost.per.car ~ poly(reductions, 3), data=q24)
new.data <- data.frame(reductions = c(91,92,93,94))
predict(model, new.data)

plot(q24)
lines(q24$reductions, predict(model, list(reductions = q24$reductions)))

Atau, menggunakan lattice:

xyplot(cost.per.car ~ reductions, data = q24,
       panel = function(x, y) {
         panel.xyplot(x, y)
         panel.lines(x, predict(model,list(reductions = x) ))
       }, 
       xlab = "Reductions", 
       ylab = "Cost per car")