Kapan perkiraan deret Taylor terhadap ekspektasi fungsi (keseluruhan) bertemu?

Ambil ekspektasi bentuk untuk beberapa variabel acak univariat dan seluruh fungsi (yaitu, interval konvergensi adalah seluruh garis nyata) $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

Saya memiliki fungsi menghasilkan momen untuk dan karenanya dapat dengan mudah menghitung momen integer. Gunakan deret Taylor sekitar dan kemudian terapkan ekspektasi dalam kaitannya dengan serangkaian momen sentral, Memotong seri ini, $X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

Pertanyaan saya adalah: di bawah kondisi apa pada variabel acak (dan tambahan apa pun pada $f(\cdot)$ juga) melakukan perkiraan dari konvergen ketika saya menambahkan istilah (yaitu $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ ).

Karena tampaknya tidak menyatu untuk kasus saya (variabel acak poisson dan $f(x) = x^{\alpha}$ ), apakah ada trik lain untuk menemukan perkiraan perkiraan dengan momen bilangan bulat ketika kondisi ini gagal?

expected-value approximation

— jlperla
sumber

lihat di sini: stats.stackexchange.com/questions/70490/…

— Jonathan

@Jonathan Terima kasih. Lihat hasil edit saya sekarang sehingga menjadi lebih jelas. Sangat membantu, meskipun saya tidak bisa memecahkannya. Dari sini, tampaknya syarat yang cukup agar ini bisa berfungsi adalah variabel acak saya sangat terkonsentrasi? Meskipun saya mengalami kesulitan memecahkan persis bagaimana menggunakan Ketimpangan Hoeffding, dll untuk membandingkan dengan catatan ini.

— jlperla

Apa maksud Anda "variabel acak poisson dan "? Apakah itu satu atau dua kasus, dan apa itu pdf?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— Carl

@Carl Ini beberapa tahun yang lalu, tetapi jika saya ingat, variabelnya adalah untuk beberapa dengan PDF dari en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution . Bahwa adalah fungsi yang saya ambil alih ekspektasinya. yaitu

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla

Tidak yakin apa yang Anda tanyakan. Bagaimana saat-saat yang lebih tinggi dari distribusi Poisson tentang asal adalah polinomial Touchard di : mana {kurung kurawal} menunjukkan angka Stirling dari jenis kedua?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— Carl

Jawaban:

Dengan asumsi Anda bahwa adalah analitik nyata, Konvergen hampir pasti (sebenarnya pasti) ke . $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

Suatu kondisi standar di mana konvergensi menyiratkan konvergensi harapan, yaitu adalah itu untuk beberapa sedemikian rupa sehingga . (Teorema Konvergensi Terdominasi.)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

Kondisi ini akan berlaku jika seri daya benar-benar konvergen, yaitu dan

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

Contoh Anda dari variabel acak Poisson dan , , akan menyarankan bahwa kriteria batas absolut di atas adalah yang terlemah, pada umumnya. $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— Michael
sumber

-1

Perkiraan akan konvergen jika fungsi f (x) mengakui ekspansi seri daya, yaitu semua turunan ada. Ini juga akan sepenuhnya tercapai jika turunan dari ambang tertentu dan di atas sama dengan nol. Anda dapat merujuk ke Populis [3-4] dan Stark and Woods [4].

— E. Mehrban
sumber

"Ini juga akan sepenuhnya tercapai jika turunan dari ambang tertentu dan di atas sama dengan nol." Jika turunannya ada dan sama dengan nol, bukankah itu cara lain untuk mengatakan polinomial?

— Akumulasi

Ini tidak benar. Ketika "semua turunan ada" pada titik ekspansi seri daya, seri daya tidak perlu bertemu di mana pun. (Contoh standar adalah seri Maclaurin dari ) Lain adalah bahwa bahkan ketika seri memang konvergen pada suatu titik, ia tidak perlu bertemu di mana-mana. Contoh sederhana adalah seri MaclaurinKetika itu terjadi, konvergensi tergantung pada detail dari variabel acak. Sebagai contoh, misalkan memiliki distribusi t Student dan pertimbangkanAkhirnya, bahkan tidak ada!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— whuber