Cara menghitung interval kepercayaan rasio dua cara normal

Saya ingin mendapatkan batas untuk interval kepercayaan untuk rasio dua cara. Misalkan, dan menjadi independen, rasio rata-rata . Saya mencoba menyelesaikan: tetapi persamaan itu tidak dapat diselesaikan untuk banyak kasus (tanpa akar). Apakah saya melakukan sesuatu yang salah? Apakah ada pendekatan yang lebih baik? Terima kasih $100(1-\alpha)\%$
$X_1 \sim N(\theta_1, \sigma^2)$ $X_2 \sim N(\theta_2, \sigma^2)$ $\Gamma = \theta_1/\theta_2$

Pr (- z (α / 2)) \leq X_{1} - Γ X_{2} / σ \sqrt{1 + γ^{2}} \leq z (α / 2)) = 1 - α

$\text{Pr}(-z(\alpha/2)) \leq X_1 - \Gamma X_2 / \sigma \sqrt {1 + \gamma^2} \leq z(\alpha/2)) = 1 - \alpha$

normal-distribution mean

— francogrex
sumber

Masalahnya adalah bahwa rasio dua angka dari dua distribusi normal mengikuti distribusi Cauchy dan dengan demikian varians tidak terdefinisi.

@mbq - distribusi Cauchy tidak menimbulkan masalah untuk interval kepercayaan, karena CDF adalah fungsi tangen terbalik. Varians tidak perlu didefinisikan untuk CI untuk bekerja. Dan rasio dua RV normal dengan mean nol adalah Cauchy, tetapi tidak harus dua RV normal dengan mean non-nol.

— probabilityislogic

@probabilityislogic Tentu, saya harus berhenti berusaha berpikir pada hari Minggu pagi.

Jawaban:

Metode Fieller melakukan apa yang Anda inginkan - menghitung interval kepercayaan untuk hasil bagi dari dua cara, keduanya diasumsikan sebagai sampel dari distribusi Gaussian.

Kutipan asli adalah: Fieller EC: Standarisasi biologis Insulin. Tambahan untuk JR Statist Soc 1940, 7: 1-64.
The Artikel Wikipedia melakukan pekerjaan yang baik dari meringkas.
Saya telah membuat kalkulator online yang melakukan perhitungan.
Ini adalah halaman yang merangkum matematika dari edisi pertama Biostatistik Intuitif saya

— Harvey Motulsky
sumber

Ini referensi yang sangat bagus, saya juga suka Anda benar-benar membuat kalkulator untuk itu (+1). Seperti yang diharapkan, dalam kalkulator Anda, Anda dengan jelas menyatakan bahwa ketika interval kepercayaan penyebut mencakup nol, tidak mungkin untuk menghitung CI hasil bagi. Saya pikir itu sama dengan yang terjadi ketika saya mencoba memecahkan persamaan kuadrat. misalkan varians adalah 1, mu1 = 0 dan mu2 = 1, N = 10000. Tidak bisa dipecahkan.

— francogrex

terima kasih untuk kalkulator online Harvey, saya seorang ahli biologi tipikal dengan latar belakang statistik yang tidak memadai dan kalkulator Anda persis seperti yang saya butuhkan.

— Timtico

Kalkulator yang luar biasa - persis apa yang saya cari. Terima kasih

— Alexander

@ harvey-motulsky tautan ke lampiran tidak lagi berfungsi. Saya bertanya-tanya apakah bahan dari lampiran ini termasuk dalam edisi ketiga Intuitive Biostatistics?

— Gabriel Southern

@GabrielSouthern Terima kasih telah menunjukkan tautan yang membusuk. Tetap.

— Harvey Motulsky

R memiliki paket mratiosdengan fungsi t.test.ratio.

Gemechis Dilba Djira, Mario Hasler, Daniel Gerhard dan Frank Schaarschmidt (2011). mratios: Inferensi untuk rasio koefisien dalam model linear umum. Paket R versi 1.3.15. http://CRAN.R-project.org/package=mratios

Lihat juga http://www.r-project.org/user-2006/Slides/DilbaEtAl.pdf

— Alessandro Jacopson
sumber

Juga jika Anda ingin menghitung interval kepercayaan Fieller yang tidak menggunakan mratios(biasanya karena Anda tidak ingin lm fit sederhana tetapi misalnya fit glmer atau glmer.nb), Anda dapat menggunakan FiellerRatioCIfungsi berikut , dengan memodelkan output dari model, aname nama parameter pembilang, beri nama nama parameter denomiator. Anda juga dapat menggunakan secara langsung fungsi pemberian FiellerRatioCI_basic, a, b dan matriks kovarian antara a dan b.

Catatan, alfa di sini adalah 0,05 dan "hardcoded" ke dalam 1,96 dalam kode. Anda dapat menggantinya dengan level Siswa mana saja yang Anda inginkan.

FiellerRatioCI <- function (x, ...) { # generic Biomass Equilibrium Level
    UseMethod("FiellerRatioCI", x)
}
FiellerRatioCI_basic <- function(a,b,V,alpha=0.05){
    theta <- a/b
    v11 <- V[1,1]
    v12 <- V[1,2]
    v22 <- V[2,2]

    z <- qnorm(1-alpha/2)
    g <- z*v22/b^2
    C <- sqrt(v11 - 2*theta*v12 + theta^2 * v22 - g*(v11-v12^2/v22))
    minS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 - z/b * C)
    maxS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 + z/b * C)
    return(c(ratio=theta,min=minS,max=maxS))
}
FiellerRatioCI.glmerMod <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[aname]))
    b<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[bname]))
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}
FiellerRatioCI.glm <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a <- coef(model)[aname]
    b <- coef(model)[bname]
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}

Contoh (berdasarkan contoh dasar standar glm):

 counts <- c(18,17,15,20,10,20,25,13,12)
 outcome <- gl(3,1,9)
 treatment <- gl(3,3)
 glm.D93 <- glm(counts ~ outcome + treatment, family = poisson())

 FiellerRatioCI(glm.D93,"outcome2","outcome3")

ratio.outcome2            min            max 
      1.550427      -2.226870      17.880574

— cmbarbu
sumber