Apa kondisi yang diperlukan untuk estimator yang tidak bias menjadi UMVUE?

Menurut teorema Rao-Blackwell , jika statistik adalah cukup dan lengkap untuk , dan , maka adalah penaksir tak bias varians minimum varians seragam (UMVUE).$T$$\theta$$E(T)=\theta$$T$

Saya bertanya-tanya bagaimana membenarkan bahwa penaksir yang tidak bias adalah UMVUE:

1. jika tidak cukup, bisakah itu UMVUE?$T$
2. jika tidak lengkap, bisakah itu UMVUE?$T$
3. Jika tidak cukup atau lengkap, bisakah itu UMVUE?$T$

Pada Varians Minimum Varians Estimasi Tidak Berfungsi ketika Tidak Ada Statistik yang Cukup Lengkap Ada oleh L. Bondesson memberikan beberapa contoh UMVUE yang tidak lengkap statistik yang cukup, termasuk yang berikut:

Misalkan menjadi pengamatan independen terhadap variabel acak , di mana dan tidak diketahui, dan adalah gamma yang didistribusikan dengan parameter bentuk diketahui dan parameter skala diketahui . Maka adalah UMVUE dari . Namun, ketika maka tidak ada statistik yang cukup lengkap untuk .$X_1, \ldots, X_n$$X = \mu + \sigma Y$$\mu$$\sigma$$Y$$k$$\theta$$\bar{X}$$E(X) = \mu + k\theta\sigma$$k \neq 1$$(\mu, \sigma)$

Mari kita tunjukkan bahwa mungkin ada UMVUE yang bukan statistik yang memadai.

Pertama-tama, jika estimator mengambil (katakanlah) nilai pada semua sampel, maka jelas adalah UMVUE dari , yang terakhir dapat dianggap sebagai fungsi (konstan) dari . Di sisi lain, penaksir ini jelas tidak cukup secara umum.$T$$0$$T$$0$$\theta$$T$

Agak sulit untuk menemukan UMVUE dari "seluruh" parameter yang tidak diketahui (daripada UMVUE dari suatu fungsi) sehingga tidak cukup untuk . Misalnya, misalkan "data" diberikan hanya oleh satu rv normal , di mana tidak diketahui. Jelas, sudah cukup dan lengkap untuk . Misalkan jika dan jika , dan biarkan ; seperti biasa, kita dilambangkan dengan dan$Y$$\theta$$Y$$\theta$$X\sim N(\tau,1)$$\tau\in\mathbb{R}$$X$$\tau$$Y=1$$X\ge0$$Y=0$$X<0$
$\theta:=\mathsf{E}_\tau Y=\mathsf{P}_\tau(X\ge0)=\Phi(\tau)$$\Phi$$\varphi$, masing-masing, cdf dan pdf dari . Jadi, estimator tidak bias untuk dan merupakan fungsi dari statistik cukup lengkap . Karenanya, adalah UMVUE dari .$N(0,1)$
$Y$$\theta=\Phi(\tau)$$X$$Y$$\theta=\Phi(\tau)$

Di sisi lain, fungsi kontinu dan benar-benar meningkat pada , dari menjadi . Jadi, korespondensi adalah sebuah bujukan. Yaitu, kita dapat menstabilkan kembali masalah, dari ke , dengan cara satu-ke-satu. Jadi, adalah UMVUE dari , tidak hanya untuk parameter "lama" , tetapi untuk parameter "baru" juga. Namun, tidak cukup untuk dan karenanya tidak cukup untuk$\Phi$$\mathbb{R}$$0$$1$$\mathbb{R}\ni\tau=\Phi^{-1}(\theta)\leftrightarrow\theta=\Phi(\tau)\in(0,1)$$\tau$$\theta$$Y$$\theta$$\tau$$\theta\in(0,1)$$Y$$\tau$$\theta$ . Memang, sebagai ; di sini kami menggunakan kesetaraan asimptotik yang dikenal sebagai , yang diikuti oleh aturan l'Hospital. Jadi, tergantung pada dan karenanya pada , yang menunjukkan bahwa tidak cukup untuk (sedangkan

$$\begin{multline*} \mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)=\mathsf{P}_\tau(X<-1|X<0)=\frac{\mathsf{P}_\tau(X<-1)}{\mathsf{P}_\tau(X<0)} \\ =\frac{\Phi(-\tau-1)}{\Phi(-\tau)} \sim\frac{\varphi(-\tau-1)/(\tau+1)}{\varphi(-\tau)/\tau}\sim\frac{\varphi(-\tau-1)}{\varphi(-\tau)}=e^{-\tau-1/2} \end{multline*}$$ $\tau\to\infty$$\Phi(-\tau)\sim\varphi(-\tau)/\tau$$\tau\to\infty$$\mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)$$\tau$$\theta$$Y$$\theta$$Y$ adalah UMVUE untuk ).$\theta$