Membuktikan urutan menurun (didukung dengan merencanakan sejumlah besar Poin)

Banyak pertanyaan yang saya posting di SE bulan lalu bertujuan membantu saya memecahkan masalah khusus ini. Semua pertanyaan sudah dijawab, tetapi saya masih belum bisa menemukan solusi. Jadi, saya pikir saya harus menanyakan masalah yang saya coba selesaikan secara langsung.

Biarkan , di mana , , (integer), dan setiap adalah cdf lebih dari . $X_n \sim F_n$ $F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$ $F_0 = x$ $c\geq 2$ $F_n$ $(0,1)$

Saya ingin membuktikan bahwa berkurang dengan untuk semua (atau bahkan, untuk tertentu )! Saya dapat menunjukkan bahwa menyatu dengan massa Dirac pada solusi unik untuk Untuk , . Ketika melihat plot cdf untuk meningkatkan untuk sama , semua cdf melintas di . Nilai berkurang untuk nilai kurang dari dan meningkat untuk nilai lebih besar dari $\mathbb{E}X_n$ $n$ $c$ $c$ $F_n$ $x_c = (1-(1-x)^c)^c)$ $c=2$ $x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$ $n$ $c$ $x_n$ $F(x)$ $x$ $x_n$ $x$ $x_n$ (dengan bertambah) konvergen ke garis vertikal di . $n$ $x_n$

Di bawah ini adalah plot untuk hingga untuk hingga . Ini tentu saja merupakan plot tersendiri, tetapi saya memiliki garis-garis yang digabungkan untuk memudahkan penglihatan. Untuk menghasilkan plot ini, saya menggunakan NIntegrate di Mathematica, meskipun saya harus melakukannya pada , karena beberapa alasan Mathematica tidak dapat menghasilkan jawaban pada nilai tinggi untuk fungsi asli. Keduanya harus setara, sesuai dengan teorema Young, . Dalam kasus saya, , . $\mathbb{E}X_n$ $n = 1$ $40$ $c = 2$ $7$ $1-F^{-1}_n$ $n$ $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ $F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$ $F^{-1}_n = x$

masukkan deskripsi gambar di sini

Seperti yang Anda lihat, bergerak sangat cepat ke jarak menit dari titik tetap . Saat meningkat, titik tetap berkurang (akhirnya akan menjadi 0). $EX_n$ $x_c$ $c$

Jadi, tentu benar bahwa berkurang dengan untuk semua . Tapi saya tidak bisa membuktikannya. Adakah yang bisa membantu saya? (lagi, saya akan sedikit senang bahkan dengan hanya satu ) Dan, jika Anda tidak bisa, tetapi Anda memiliki wawasan tentang mengapa masalah khusus ini mungkin tidak dapat diselesaikan, silakan berbagi wawasan itu juga. $EX_n$ $n$ $c$ $c$

— OctaviaQ
sumber

Sudahkah Anda mempertimbangkan untuk menulis ulang sehingga ? Bukti induktif atau kontradiksi dapat diakses dengan mudah.

Z n = E X_{n} - E X_{n - 1}

$Zn = EX_n - EX_{n-1}$

— Iterator

@Iterator: Saya sudah mencoba (BANYAK) tetapi belum berhasil.

— OctaviaQ

Iya. +1 dan menghapus komentar saya sebelumnya.

— finnw

@Jand: Sayangnya saya harus mencabut klaim bukti saya untuk saat ini. Saya telah menemukan lubang yang belum bisa saya tempel. Permintaan maaf. Saya seharusnya lebih berhati-hati sebelum memposting sesuatu. Saya memeriksanya beberapa kali, tetapi tidak menemukan masalah sampai saat terakhir ini saya mengalaminya.

— kardinal

@Jand: Anda memiliki sangat mirip (tapi sedikit berbeda) pertanyaan pada math.SE . Bisakah Anda mengklarifikasi apakah Anda benar-benar tertarik pada keduanya atau hanya salah satu dari mereka dan mengapa?

— kardinal

Ini telah dijawab di MO oleh Pietro Majer di sini .

— OctaviaQ
sumber