Ketika parametrizing ulang fungsi kemungkinan, apakah cukup dengan memasukkan variabel yang ditransformasi alih-alih perubahan formula variabel?

Misalkan saya sedang mencoba untuk parametrize ulang fungsi kemungkinan yang didistribusikan secara eksponensial. Jika fungsi kemungkinan asli saya adalah:

p (y ∣ θ) = θ e^{- θ y}

$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$

dan saya ingin mengembalikan parameter menggunakan , karena bukan variabel acak, tetapi sebuah parameter, apakah cukup hanya dengan plug-in? $\phi = \frac{1}{\theta}$ $\theta$

Yang saya maksud secara eksplisit adalah:

p (y ∣ ϕ = \frac{1}{θ}) = \frac{1}{ϕ} e^{- \frac{1}{ϕ} y}

$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$

Jika demikian, saya tidak yakin apa teori di balik ini. Pemahaman saya adalah bahwa fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter, jadi mengapa saya tidak perlu menggunakan rumus perubahan variabel membingungkan saya. Bantuan apa pun akan sangat dihargai, terima kasih!

regression bayesian mathematical-statistics

— pengguna123276
sumber

Anda tidak memerlukan Jacobian dalam transformasi Anda karena ini adalah distribusi probabilitas pada , bukan pada . Itu harus berintegrasi menjadi satu di , apakah Anda menggunakan atau : Hanya ketika Anda memasukkan ukuran (Bayesian) pada yang muncul Jacobian. Yaitu, jika adalah prior pada , maka kepadatan posterior adalah dan kepadatan posterior dari adalah $y$ $\theta$ $y$ $\theta$ $\phi$

\int p (y | θ) d y = \int p (y | ϕ) d y = 1

$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$

θ

$\theta$

p (θ)

$p(\theta)$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

p (θ | y) \propto p (θ) p (y | θ)

$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$

ϕ

$\phi$

p (ϕ | y) \propto p (y | ϕ) p (ϕ) = p (y | θ (ϕ)) p (θ (ϕ)) | \frac{\partial θ}{\partial ϕ} | \propto p (θ (ϕ) | y) | \frac{\partial θ}{\partial ϕ} |

$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$ yang melibatkan Jacobian.

| \frac{\partial θ}{\partial ϕ} |

$\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$

— Xi'an
sumber

Jika saya mencoba mencari , di mana , saya tahu dan membutuhkan Jacobian, tetapi apakah ini kasus di mana Anda mengatakan bahwa saya MEMBUTUHKAN orang jacobian untuk mengubah ?

p (θ | y) \propto p (y | θ) p (θ)

$p(\theta|y) \propto p(y|\theta)p(\theta)$

θ = \frac{1}{ϕ}

$\theta = \frac{1}{\phi}$

p (θ)

$p(\theta)$

p (θ | y)

$p(\theta|y)$

p (y | θ)

$p(y|\theta)$

— user123276

Bahkan dalam kasus ini Anda tidak menggunakan Jacobian pada bagian kemungkinan.

— Xi'an