Apa definisi matematis dari parameter lokasi / skala / bentuk?

Saya mencoba memahami definisi yang tepat dari parameter lokasi / skala / bentuk (mis $a$ disebut parameter bentuk dan $c$ adalah parameter skala dalam Pareto Tipe I). Tetapi buku-buku yang saya maksudkan ( Kamus Statistik Cambridge , Pengantar HMC untuk Statistik Matematika , Pengantar Feller's An untuk Teori Probabilitas dan Penerapannya , dll) hanya (tampaknya) memberikan definisi deskriptif untuk parameter ini (parameter lokasi disebut parameter pemusatan di Feller's ). Wikipedia memberikan definisi dalam hal cdf dan pdf tetapi tanpa sumber apa pun yang diberikan.

Berdasarkan konsep dalam statistik non-parametrik (misalnya Ch.10 dari HMC) saya menduga parameter lokasi / skala / bentuk dapat didefinisikan sebagai berikut:

Membiarkan $X$ menjadi variabel acak dengan cdf $F_X$ . Parameter $\theta=T(F_X)$ dimana $T$ adalah fungsional, adalah parameter lokasi jika
$\begin{aligned} T (F_{X + a}) & = T (F_{X}) + a, & \forall a \in R, \\ T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a \neq 0; \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{X+a})&=T(F_X)+a,&&\forall a\in\mathbb{R},\\ T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a\neq0;\end{align*}$ dan itu adalah parameter skala jika $\begin{aligned} T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a > 0, \\ T (F_{X + b}) & = T (F_{X}), & \forall b \in R, \\ T (F_{- X}) & = T (F_{X}); \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a>0,\\ T(F_{X+b})&=T(F_X),&&\forall b\in\mathbb{R},\\ T(F_{-X})&=T(F_X);\end{align*}$ dan itu adalah parameter bentuk jika bukan lokasi atau skala.

Apakah saya benar? Atau apakah saya bingung beberapa konsep yang tidak berhubungan?

mathematical-statistics nonparametric definition

— Francis
sumber

Intuisi saya adalah bahwa keberadaan fungsional semacam itu unik hingga parameterisasi parameter. Saya tidak yakin apakah fungsi seperti itu selalu ada, dan mereka tidak harus linier. Juga, saya pikir properti kedua untuk parameter lokasi tidak diperlukan.

— Gumeo

@ Guðmundur Jika properti kedua parameter lokasi tidak diasumsikan dan

T

$T$ adalah fungsional yang memuaskan properti pertama, maka untuk semua yang nyata

b

$b$ ,

T + b

$T + b$ (didefinisikan sebagai

(T + b) (F) = T (F) + b

$(T+b)(F) = T(F)+b$ untuk semua distribusi

F

$F$ ) juga memenuhi properti pertama, dari mana

T

$T$ tidak akan unik.

— whuber

@whuber aku merindukan itu ... Aku setuju denganmu.

— Gumeo

@ Whuber Tapi harus

T

$T$ Jadilah unik? Misalnya untuk distribusi simetris,

μ

$\mu$ adalah mean dan median, yang merupakan fungsional yang berbeda.

— Francis

@ Francis Pada set distribusi simetris yang didefinisikan oleh mean dan median, mereka setuju, sehingga mereka dapat dianggap fungsional yang sama. Namun demikian saya pikir Anda benar untuk menantang implikasi bahwa parameter lokasi harus unik - tidak perlu.

— whuber

Seringkali benar bahwa ini berhubungan dengan (beberapa fungsi) momen pertama, kedua dan ketiga seperti dicatat oleh @ GuðmundurEinarsson. Namun, ada pengecualian: Sebagai contoh untuk distribusi Cauchy, Evans, Hastings, dan Peacock (2000) menyebut parameter pertama sebagai parameter lokasi, tetapi mewakili median alih-alih rata-rata. Rata-rata bahkan tidak didefinisikan untuk distribusi Cauchy.

Deskripsi yang lebih melingkupi tetapi kurang tepat adalah:

parameter lokasi menggeser seluruh distribusi ke kiri atau kanan
Parameter skala memampatkan atau merentangkan seluruh distribusi
parameter bentuk mengubah bentuk distribusi dengan cara lain.

Merran Evans, Nicholas Hastings, dan Brian Peacock (2000) Distribusi Statistik , edisi ketiga. Wiley.

— Maarten Buis
sumber

Dalam hal median kita dapat mendefinisikan

T (F_{X}) = F_{X}^{- 1} (1 / 2)

$T(F_X)=F_X^{-1}(1/2)$ (diberikan terbalik ada), yang merupakan lokasi yang fungsional sejak

1 / 2 = P (X + a < F_{X + a}^{- 1} (1 / 2)) = P (X + a < F_{X}^{- 1} (1 / 2) + a) = 1 / 2

$1/2=P(X+a<F_{X+a}^{-1}(1/2))=P(X+a<F_{X}^{-1}(1/2)+a)=1/2$ dan untuk

a > 0

$a>0$ (mudah diperiksa

a < 0

$a<0$ ):

1 / 2 = P (a X < F_{a X}^{- 1} (1 / 2)) = P (a X < a F_{X}^{- 1} (1 / 2)) = 1 / 2.

$1/2=P(aX<F_{aX}^{-1}(1/2))=P(aX<aF_{X}^{-1}(1/2))=1/2.$ Saya menduga ini adalah bagaimana parameter lokasi didefinisikan untuk distribusi Cauchy (itu yang Anda maksud dengan Gauchy, kan?).

— Francis

Kesalahan saya: Gauchy memang seharusnya Cauchy. Saya telah mengedit jawaban untuk memperbaikinya.

— Maarten Buis

@ Maarten Anda mungkin ingin mengubah jawaban Anda, saya menghapus jawaban saya untuk tidak memunculkan kebingungan lebih lanjut.

— Gumeo