Bagaimana cara menghitung nilai yang diharapkan dari distribusi normal standar?

Saya ingin belajar bagaimana menghitung nilai yang diharapkan dari variabel acak kontinu. Tampaknya nilai yang diharapkan adalah di mana adalah fungsi kepadatan probabilitas .

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm{d}x$

f (x)

$f(x)$

X

$X$

Misalkan fungsi kerapatan probabilitas adalah yang merupakan kepadatan dari distribusi normal standar. $X$

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}$

Jadi, pertama-tama saya akan memasukkan PDF dan mendapatkan yang merupakan persamaan tampak agak berantakan. Konstanta dapat dipindahkan ke luar integral, memberikan

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x$

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x .

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x.$

Saya terjebak di sini. Bagaimana cara menghitung integral? Apakah saya melakukan ini dengan benar sejauh ini? Apakah cara paling sederhana untuk mendapatkan nilai yang diharapkan?

random-variable pdf expected-value

— mmh
sumber

judul pertanyaan Anda menyesatkan. Anda sebenarnya mencoba menghitung nilai yang diharapkan dari variabel acak normal standar. Anda juga dapat menghitung nilai yang diharapkan dari fungsi RV. Saya lebih suka memasukkan judul: "Bagaimana cara menghitung nilai yang diharapkan dari distribusi normal standar." Atau "Cara menghitung nilai yang diharapkan dari variabel acak kontinu."

— Gumeo

@ GuðmundurEinarsson dikoreksi.

— mmh

"Aku macet di sini. Bagaimana cara menghitung integral?" Temukan turunan dari . (Tidak, saya tidak bercanda dan menyarankan kesibukan yang tidak perlu bagi Anda; saya sangat serius; Lakukan saja!). Kemudian menatap sangat keras pada turunan yang Anda temukan.

- e^{- \frac{x^{2}}{2}}

$-e^{-\frac{x^2}{2}}$

— Dilip Sarwate

Jawaban:

Anda hampir sampai, ikuti langkah terakhir Anda:

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} / 2} d (- \frac{x^{2}}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} ∣_{- \infty}^{\infty} = 0

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\displaystyle\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}d(-\frac{x^2}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mid_{-\infty}^{\infty}\\=0$ .

Atau Anda dapat langsung menggunakan fakta bahwa adalah fungsi aneh dan batas integralnya simetri. $xe^{-x^2/2}$

— Jauh di Utara
sumber

Argumen simetri hanya berfungsi jika kedua bagian itu sendiri konvergen.

— Glen_b -Reinstate Monica

Bisakah Anda menjelaskan apa yang terjadi pada baris kedua?

— mmh

Komentar Glen benar jika tidak konvergen maka perubahan variabel tidak akan berhasil

— Deep North

Baris kedua sama dengan baris pertama karena juga perhatikan tanda negatif di awal. Maka Anda dapat memikirkan perubahan variabel untuk integrasi, kemudian Anda mengubahnya kembali karena batasnya tidak berubah. Atau Anda dapat menggunakan integrasikan bagian. Dan ingat

d (- \frac{x^{2}}{2}) = - x d x

$d(-\frac{x^2}{2})=-xdx$

\int_{a}^{b} e^{y} d y = e^{y} ∣_{a}^{b}

$\int_{a}^{b}e^y dy=e^y\mid_{a}^{b}$

— Jauh di Utara

Untuk menggunakan simetri untuk mendapatkan nilai rata-rata, Anda perlu tahu bahwa menyatu - ini berlaku untuk kasus ini, tetapi lebih umum Anda tidak dapat menganggapnya. Misalnya, argumen simetri akan mengatakan bahwa rata-rata Cauchy standar adalah 0, tetapi tidak memiliki satu.

\int_{0}^{\infty} x f (x) d x

$\int_0^\infty xf(x) dx$

— Glen_b -Reinstate Monica

Karena Anda ingin mempelajari metode penghitungan harapan, dan Anda ingin mengetahui beberapa cara sederhana, Anda akan menikmati menggunakan fungsi penghasil momen (mgf)

ϕ (t) = E [e^{t X}] .

$\phi(t) = E[e^{tX}].$

Metode ini bekerja dengan sangat baik ketika fungsi distribusi atau kepadatannya diberikan sebagai eksponensial sendiri. Dalam hal ini, Anda sebenarnya tidak harus melakukan integrasi apa pun setelah Anda amati

t^{2} / 2 - {(x - t)}^{2} / 2 = t^{2} / 2 + (- x^{2} / 2 + t x - t^{2} / 2) = - x^{2} / 2 + t x,

$t^2/2 -\left(x - t\right)^2/2 = t^2/2 + (-x^2/2 + tx - t^2/2) = -x^2/2 + tx,$

karena, menulis fungsi kepadatan normal standar pada sebagai (untuk konstan yang nilainya tidak perlu Anda ketahui), ini memungkinkan Anda untuk menulis ulang mgf sebagai $x$ $C e^{-x^2/2}$ $C$

ϕ (t) = C \int_{R} e^{t x} e^{- x^{2} / 2} d x = C \int_{R} e^{- x^{2} / 2 + t x} d x = e^{t^{2} / 2} C \int_{R} e^{- (x - t)^{2} / 2} d x .

$\phi(t) = C\int_\mathbb{R} e^{tx} e^{-x^2/2} dx = C\int_\mathbb{R} e^{-x^2/2 + tx} dx = e^{t^2/2}C\int_\mathbb{R} e^{-(x-t)^2/2} dx .$

Di sisi kanan, mengikuti istilah , Anda akan mengenali integral dari probabilitas total distribusi Normal dengan rerata dan satuan, yang karenanya adalah . Karena itu $e^{t^2/2}$ $t$ $1$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} .

$\phi(t) = e^{t^2/2}.$

Karena kerapatan Normal menjadi kecil pada nilai besar begitu cepat, tidak ada masalah konvergensi terlepas dari nilai . dapat dikenali analitik pada , artinya sama dengan seri MacLaurin-nya $t$ $\phi$ $0$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} = 1 + (t^{2} / 2) + \frac{1}{2} {(t^{2} / 2)}^{2} + \dots + \frac{1}{k!} {(t^{2} / 2)}^{k} + \dots .

$\phi(t) = e^{t^2/2} = 1 + (t^2/2) + \frac{1}{2} \left(t^2/2\right)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\left(t^2/2\right)^k + \cdots.$

Namun, karena konvergen sepenuhnya untuk semua nilai , kami juga dapat menulis $e^{tX}$ $tX$

E [e^{t X}] = E [1 + t X + \frac{1}{2} (t X)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} (t X)^{n} + \dots] = 1 + E [X] t + \frac{1}{2} E [X^{2}] t^{2} + \dots + \frac{1}{n!} E [X^{n}] t^{n} + \dots .

$E[e^{tX}] = E\left[1 + tX + \frac{1}{2}(tX)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}(tX)^n + \cdots\right] \\ = 1 + E[X]t + \frac{1}{2}E[X^2]t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}E[X^n]t^n + \cdots.$

Dua deret daya konvergen dapat sama hanya jika keduanya merupakan persamaan per suku, di mana (membandingkan istilah yang melibatkan ) $t^{2k} = t^n$

\frac{1}{(2 k)!} E [X^{2 k}] t^{2 k} = \frac{1}{k!} (t^{2} / 2)^{k} = \frac{1}{2^{k} k!} t^{2 k},

$\frac{1}{(2k)!}E[X^{2k}]t^{2k} = \frac{1}{k!}(t^2/2)^k = \frac{1}{2^kk!} t^{2k},$

menyiratkan

E [X^{2 k}] = \frac{(2 k)!}{2^{k} k!}, k = 0, 1, 2, \dots

$E[X^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^kk!},\ k = 0, 1, 2, \ldots$

(dan semua harapan kekuatan aneh adalah nol). Untuk hampir tidak ada usaha Anda telah memperoleh harapan dari semua kekuatan integral positif dari sekaligus. $X$ $X$

Variasi dari teknik ini dapat bekerja dengan baik dalam beberapa kasus, seperti , asalkan kisaran terbatas sesuai. Mgf (dan relatif dekat fungsi karakteristik ) sangat berguna, meskipun, Anda akan menemukannya diberikan dalam tabel properti distribusi, seperti dalam entri Wikipedia pada distribusi Normal . $E[1/(1-tX)] = E[1 + tX + (tX)^2 + \cdots + (tX)^n + \cdots]$ $X$ $E[e^{itX}]$

— whuber
sumber