invariansi korelasi dengan transformasi linear:

Ini sebenarnya adalah salah satu masalah di Gujarati's Basic Econometrics edisi ke-4 (Q3.11) dan mengatakan bahwa koefisien korelasi tidak berubah sehubungan dengan perubahan asal dan skala, yaitu mana , , , adalah konstanta arbitrer.

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

d

$d$

Tetapi pertanyaan utama saya adalah sebagai berikut: Biarkan dan dipasangkan pengamatan dan anggap dan berkorelasi positif, yaitu . Saya tahu bahwa akan negatif berdasarkan intuisi. Namun jika kita mengambil , maka $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\text{corr}(X,Y)>0$ $\text{corr}(-X,Y)$ $a=-1, b=0, c=1, d=0$ yang tidak masuk akal.

corr (- X, Y) = corr (X, Y) > 0

$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$

Saya akan sangat menghargai jika seseorang dapat menunjukkan celahnya. Terima kasih.

— Daniel
sumber

Jika buku itu benar-benar mengatakan apa yang Anda katakan, itu salah; Anda perlu

a c > 0

$ac>0$

— Glen_b -Reinstate Monica

@ Glen_b Ya saya pikir buku menyatakannya salah, kecuali saya buta karena saya tidak benar-benar melihat kondisi yang dikenakan pada konstanta.

— Daniel

Mungkin skala dipahami sebagai kuantitas positif.

— Xi'an

@ Xi'an Bisa jadi, tapi saya tidak berpikir itu dinyatakan dalam buku ini. Tetapi terima kasih banyak untuk hasil editnya dan jawabannya :)

— Daniel

Karena dan

corr (X, Y) = \frac{cov (X, Y)}{var (X)^{1 / 2} var (Y)^{1 / 2}}

$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$

kesetaraan

hanya berlaku ketika

dan

keduanya positif atau keduanya negatif, yaitu

cov (a X + b, c Y + d) = a c cov (X, Y)

$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

c

$c$

a c > 0

$ac>0$

— Xi'an
sumber