Interpretasi Total Hukum Kovarian

misalkan adalah variabel acak yang didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama dan biarkan kovarians dan menjadi terbatas, maka hukum rumus dekomposisi kovarian total / kovarian menyatakan: Apa interpretasi dari dan ?$X,Y,Z$$X$$Y$

$$\begin{align} \text{Cov}(X,Y)=\underbrace{\mathbb{E}\big[\text{Cov}(X,Y\lvert Z)\big]}_{\text{(i)}}+\underbrace{\text{Cov}\big[\mathbb{E}(X\lvert Z),\mathbb{E}(Y\lvert Z)\big]}_{\text{(ii)}} \end{align}$$ $\text{(i)}$$\text{(ii)}$

Pikiran saya: dalam (ii) dua harapan bersyarat dapat dilihat sebagai variabel acak sendiri, saya juga tahu bahwa ini adalah generalisasi dari hukum total varians / formula dekomposisi varian yang dapat ditunjukkan dengan menetapkan , di mana interpretasi kemudian bahwa dari variasi dalam dijelaskan oleh dan terjelaskan oleh . Tetapi apa interpretasi yang benar dalam rumus kovariansi untuk (i) dan (ii)? Wikipedia menawarkan deskripsi singkat yang tidak terlalu memuaskan.$X=Y$$Y$$Z$$Z$

Istilah pertama (i): $E[\operatorname{cov}(X,Y|Z)]$

Pikirkan $\operatorname{cov}(X,Y)$ sebagai fungsi dari $Z$. Ketika Anda memeriksa berbagai nilai$Z$, Anda akan mendapatkan nilai untuk itu $\operatorname{cov}(X,Y)$. Harapannya hanya rata-rata terhadap kovarian yang berbeda ini sehubungan dengan$Z$.

Istilah kedua (ii): $\operatorname{cov}([E[X|Z],E[Y|Z])$

Pikirkan $E[X|Z]$ dan $E[Y|Z]$ sebagai fungsi dari $Z$. Ketika Anda memeriksa berbagai nilai$Z$, Anda juga akan mendapatkan nilai $E[X|Z]$ dan nilai $E[Y|Z]$direalisasikan secara bersamaan. Karena itu, untuk setiap nilai$Z$, Anda akan mendapatkan $(X, Y)$koordinat. Istilah ini hanyalah kovarians dari semua titik koordinat ini.

Kemungkinan interpretasi lain dalam kerangka kerja hierarki adalah dekomposisi sederhana dari total kovarian $\operatorname{cov}(X,Y)$ menjadi dua istilah:

1. dalam grup ($E[\operatorname{cov}(X,Y|Z)]$) dan
2. antar kelompok $\operatorname{cov}([E[X|Z],E[Y|Z])$

kovarian Istilah pertama mewakili dalam contoh ini rata-rata kovariansi$X$ dan $Y$ dievaluasi untuk setiap kelompok sedangkan istilah kedua adalah kovarians rata-rata kelompok untuk $X$ dan $Y$.