Definisi matematis dari Infill Asymptotic

Saya menulis sebuah makalah yang menggunakan asimptotik pengisi dan salah satu pengulas saya meminta saya untuk memberikan definisi matematis yang tepat tentang apa asimptotik pengisi (yaitu, dengan simbol dan notasi matematika).

Saya tidak dapat menemukan apa pun dalam literatur dan berharap seseorang dapat mengarahkan saya ke arah beberapa orang atau memberi saya definisi yang ditulis sendiri.

Jika Anda tidak terbiasa dengan asimptotik pengisi (juga disebut asimtotik domain tetap), mereka adalah sebagai berikut: Asimptotik pengisi didasarkan pada pengamatan yang semakin padat di beberapa wilayah tetap dan terbatas seiring meningkatnya jumlah mereka.

Dinyatakan sebaliknya, asimptotik pengisi adalah tempat lebih banyak data dikumpulkan dengan pengambilan sampel yang lebih padat dalam domain tetap.

Saya sudah melihat Stein 1999 dan Cressie 1993 tetapi tidak ada yang "matematis" ketat di sana.

Ini kutipan dari makalah saya.

Karena itu, penting untuk mengenali jenis asimptotik yang kita hadapi. Dalam kasus kami, asimptotik yang kami tangani didasarkan pada pengamatan yang semakin padat di beberapa wilayah yang tetap dan dibatasi ketika jumlah mereka meningkat. Jenis asimptotik ini dikenal sebagai asimptotik domain tetap (Stein, 1999) atau asimptotik isi (Cressie, 1993). Asimptotik pengisi, di mana lebih banyak data dikumpulkan dengan pengambilan sampel yang lebih padat dalam domain tetap, akan memainkan peran kunci dalam membantu kami mengembangkan argumen untuk ...

Impotran untuk dicatat, saya mengambil sampel pengamatan saya menggunakan Latin hypercube sampling.

Inilah yang dikatakan buku Cressie tentang asimptotik isi.

asymptotics definition

Bagian 5.8, Infill Asymptotics , edisi pertama (1991) dari buku Cressie jelas. Meskipun tidak memberikan definisi dalam notasi matematika, sebuah contoh (dari asimptotik yang "lebih halus daripada isi") secara eksplisit diberikan dua halaman kemudian menggunakan notasi matematika. Bisakah Anda mengutip deskripsi kertas Anda sendiri tentang "infill asymptotics"?

— whuber

@whuber Saya menambahkan kutipan ke pertanyaan awal

Terima kasih. Kutipan itu tampaknya tidak cukup spesifik. Bagaimana tepatnya Anda melakukan sampling domain tetap? Contoh (ditawarkan oleh Cressie) adalah bahwa Anda sampel satu titik dan kemudian, selamanya, sampel dalam sebuah cluster di sekitar titik yang berbeda. Misalnya, itu mungkin memiliki perilaku asimptotik yang berbeda dari pengambilan sampel dengan proses Poisson yang homogen.

— whuber

@whuber Saya menggunakan sampel hypercube Latin.

Harap sertakan informasi itu dalam pertanyaan Anda, karena itu penting untuk jawabannya.

— whuber

Jawaban:

Definisi asimptotik pengisi tidak terlalu berguna (secara teknis, jika domain tetap dan ukuran sampel naik, itu adalah asimptotik pengisi. Tetapi pertimbangkan kasus di mana Anda sampel pada transek dari 0 ke 1, ambil satu sampel dalam 0,1 / 2, sampel lain dalam 1 / 2,3 / 4, sampel lain dalam interval 3/4, 7/8, dll. Anda akan bisa mengatakan banyak tentang nilai pada 1, tetapi tidak akan bisa mengatakan banyak lain.)

$\epsilon$ $\epsilon>0$ $n\rightarrow\infty$

Terkadang isi tidak diberikan secara eksplisit, hanya desain yang diberikan. Sebagai contoh, dalam makalah oleh Lahiri (Tentang Inkonsistensi Estimator Berdasarkan Data Spasial di Bawah Asimtotik Infill), ia menggambarkan desain yang pada dasarnya adalah kotak 'jittered' (beberapa keacakan sebagai tingkat kecil, tetapi umumnya didasarkan pada pengambilan sampel dalam hyper rectangular) subregional) yang padat secara asimptotik dalam domain tetap. Dia memperoleh hasil (umum untuk masalah pengisian) bahwa sebagian besar parameter variogram diperkirakan tidak konsisten.

Lahiri, Lee dan Cressie (Tentang distribusi asimptotik dan efisiensi asimptotik dari penduga kuadrat terkecil dari parameter variogram spasial, J.StatPlanInf 2002, vol. 103, hal. 65-85) sama-sama mempertimbangkan jaringan pengisi yang menjadi lebih dekat secara sistematis, sekali lagi, menghasilkan sampel yang padat.

(Hasil umum untuk sampel padat adalah bahwa karena asimptotik pengisi benar-benar merupakan realisasi tunggal dari proses spasial, satu-satunya parameter dari variogram benar (populasi super) yang dapat diperkirakan secara konsisten adalah kemiringan nol, tetapi prediksi semakin baik. )

— AlaskaRon
sumber

Apakah Anda tahu cara membuktikan pernyataan ini? "untuk semua subregional area ϵ, untuk ϵ> 0, probabilitas sampel yang terjadi di subregion mendekati 1 sebagai n → ∞. Sampel semacam itu padat dalam domain."

ϵ

$\epsilon$

Apakah Anda tahu ada makalah yang mengatakan bahwa Hypercubes Latin padat tanpa gejala?

Mari kita mulai dengan definisi pengambilan sampel Hypercube Latin, hanya untuk membuat semuanya menjadi sangat jelas dan membuat notasi. Kemudian kita dapat mendefinisikan asimptotik pengisi.

LHS

$\mathcal{B}=[l_1,u_1)\times [l_2,u_2)\times \cdots [l_d,u_d) \subset \mathbb{R}^d$ $N \ge 1$ $\delta_i(N) = (u_i-l_i)/N$ $N^d$

c_{N} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{d}) = [l_{1} + i_{1} δ_{1} (N), l_{1} + (i_{1} + 1) δ_{1} (N)) \times \dots [l_{d} + i_{d} δ_{d} (N), l_{d} + (i_{d} + 1) δ_{d} (N)),

$c_N(i_1,i_2,\ldots, i_d) = [l_1 + i_1\delta_1(N), l_1 + (i_1+1)\delta_1(N))\times \cdots [l_d + i_d\delta_d(N), l_d + (i_d+1)\delta_d(N)),$

$0 \le i_j \lt N$ $j$

$N$ $S=\{c_N(i_1^1, \ldots, i_d^1), \ldots, c_N(i_1^N, \ldots, i_d^N)\}$

{i_{j}^{1}, i_{j}^{2}, \dots, i_{j}^{N}} = {1, 2, \dots, N}, j = 1, 2, \dots, d .

$\{i_j^1, i_j^2, \ldots, i_j^N\}=\{1, 2, \ldots, N\},\ j=1, 2, \ldots, d.$

$d$ $2$ $N$ $S$ $N$

X (N) = {(Z_{1}^{N}, Y_{1}^{N}), \dots, (Z_{N}^{N}, Y_{N}^{N})}

$X(N)=\{(Z_1^N,Y_1^N), \ldots, (Z_N^N,Y_N^N)\}$ dari nilai (lokasi, observasi).

Mengisi Asimptotik

$t_N$ $X(N)$ $N$ $\mathcal{B}$ $t_N(X(N))$ $N$

t_{1} (X (1)), t_{2} (X (2)), \dots, t_{N} (X (N)), \dots

$t_1(X(1)), t_2(X(2)), \ldots, t_N(X(N)), \ldots$

$N$

— whuber
sumber