Topologi di mana ensemble distribusi probabilitas selesai

Saya telah berjuang sedikit dengan mendamaikan pemahaman intuitif saya tentang distribusi probabilitas dengan sifat aneh yang dimiliki hampir semua topologi pada distribusi probabilitas.

Misalnya, pertimbangkan variabel acak campuran : pilih Gaussian yang berpusat pada 0 dengan varians 1, dan dengan probabilitas $X_n$ , tambahkanke hasilnya. Urutan variabel acak akan konvergen (lemah dan dalam variasi total) ke Gaussian berpusat pada 0 dengan varians 1, tetapi rata-rataselaludan varians konvergen ke. Saya benar-benar tidak suka mengatakan bahwa urutan ini menyatu karena itu. $\frac{1}{n}$ $n$ $X_n$ $1$ $+\infty$

Saya mengambil beberapa waktu untuk mengingat semua yang saya lupa tentang topologi, tetapi saya akhirnya menemukan apa yang begitu tidak memuaskan bagi saya tentang contoh-contoh seperti itu: batas urutannya bukan distribusi konvensional. Dalam contoh di atas, batasnya adalah "Gaussian rata-rata 1 dan varian tak terbatas" yang aneh. Dalam istilah topologi, set distribusi probabilitas tidak lengkap di bawah yang lemah (dan TV, dan semua topologi lain yang pernah saya lihat).

Saya kemudian menghadapi pertanyaan berikut:

apakah ada topologi sedemikian rupa sehingga ensemble distribusi probabilitas selesai?
Jika tidak, apakah ketidakhadiran itu mencerminkan sifat yang menarik dari ansambel distribusi probabilitas? Atau hanya membosankan?

Catatan: Saya telah mengajukan pertanyaan saya tentang "distribusi probabilitas". Ini tidak dapat ditutup karena mereka dapat bertemu dengan Diracs dan hal-hal seperti itu yang tidak memiliki pdf. Tetapi langkah-langkah masih belum ditutup di bawah topologi yang lemah sehingga pertanyaan saya tetap

crossposted ke mathoverflow /mathpro/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

— Guillaume Dehaene
sumber

Anda menemukan bahwa himpunan semua distribusi probabilitas adalah noty kompak . Saya pikir kekompakan adalah kata yang Anda butuhkan, bukan kelengkapan. Konsep kekompakan yang relevan dalam pengaturan ini sering disebut keketatan . Lihat misalnya stats.stackexchange.com/questions/180139/...

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen Saya pikir ini adalah prapompak daripada kompak karena Teorema Skorohod.

— Henry.L

Apa sebenarnya masalah dengan contoh yang diberikan? Apakah konvergensi (lemah, katakanlah) tidak menyiratkan konvergensi momen? Kenapa harus begitu? Dan apa hubungannya ini dengan kelengkapan (ada batas dalam contoh yang diberikan)?

— Michael

Melihat pertanyaan dari sudut statistik yang lebih sempit (masalah topologi matematika umum adalah valid), fakta bahwa urutan momen mungkin tidak menyatu dengan momen distribusi terbatas adalah fenomena yang terkenal. Ini pada prinsipnya, tidak secara otomatis membuat keraguan keberadaan distribusi urutan yang berperilaku baik.

$\{X_n + n Bern(1/n)\}$ $N(0,1)$

— Alecos Papadopoulos
sumber

Bagaimana ini menjawab pertanyaan?

— whuber

@whuber Yah, jawaban saya mengatakan bahwa apakah ada topologi seperti yang diminta OP, atau tidak, tidak membuat banyak perbedaan dari sudut pandang statistik.

— Alecos Papadopoulos