Bagaimana fungsi Error dan fungsi distribusi Normal Normal terkait?

Jika Standar Normal PDF adalah

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

dan CDF adalah

F (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- x^{2} / 2} d x,

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$

bagaimana ini berubah menjadi fungsi kesalahan ? $z$

normal-distribution cdf

— TH4454
sumber

johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf

— Mark L. Stone

Saya melihat ini, tetapi dimulai dengan ERF yang sudah didefinisikan.

— TH4454

Nah, ada definisi erf dan definisi CDF Normal .. Relasi, diturunkan dengan beberapa perhitungan rutin, diperlihatkan bagaimana mengkonversi di antara mereka, dan bagaimana mengkonversi antara invers mereka.

— Mark L. Stone

Maaf, saya tidak melihat banyak detail. Misalnya, CDF dari -Inf ke x. Jadi bagaimana ERF berubah dari 0 ke x?

— TH4454

Apakah Anda terbiasa dengan teknik kalkulus perubahan variabel? Jika tidak, pelajari cara melakukannya.

— Mark L. Stone

Karena ini sering muncul dalam beberapa sistem (misalnya, Mathematica bersikeras untuk mengekspresikan CDF Normal dalam hal ), ada baiknya untuk memiliki utas seperti ini yang mendokumentasikan hubungan tersebut. $\text{Erf}$

Menurut definisi, Fungsi Kesalahan adalah

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$

Menulis menyiratkan $t^2 = z^2/2$ (karenatidak negatif), dari mana $t = z / \sqrt{2}$ $t$ . Titik akhirdanmenjadidan $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$ $t=0$ $t=x$ $z=0$ . Untuk mengubah integral yang dihasilkan menjadi sesuatu yang tampak seperti fungsi distribusi kumulatif (CDF), itu harus dinyatakan dalam bentuk integral yang memiliki batas lebih rendah, dengan demikian: $z=x\sqrt{2}$ $-\infty$

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z = 2 (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{0} e^{- z^{2} / 2} d z) .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$

Integral tersebut pada ukuran kanan adalah nilai dari CDF dari distribusi Normal standar,

Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- z^{2} / 2} d z .

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

Secara khusus,

Erf (x) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - Φ (0)) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - \frac{1}{2}) = 2 Φ (x \sqrt{2}) - 1.

$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$

Ini menunjukkan bagaimana mengekspresikan Fungsi Kesalahan dalam hal CDF Normal. Manipulasi aljabar yang dengan mudah memberikan CDF Normal dalam hal Fungsi Kesalahan:

Φ (x) = \frac{1 + Erf (x / \sqrt{2})}{2} .

$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$

$\Phi$ $x$ $\sqrt{2}$ $1$ $y$ $y$ $2$

Φ (x \sqrt{2}) = \frac{Erf (x) + 1}{2}

$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$

di mana notasi secara eksplisit menunjukkan tiga operasi penggandaan, penjumlahan, dan pembagian ini.

— whuber
sumber

Φ (x, μ, σ) = \frac{1}{2} (1 + Erf (\frac{x - μ}{σ \sqrt{2}}))

$\Phi(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\left( 1+\text{Erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)$