Apakah normalitas sendi merupakan syarat yang diperlukan agar jumlah variabel acak normal menjadi normal?

13

Dalam komentar yang mengikuti jawaban saya untuk pertanyaan terkait, Pengguna ssdecontrol dan Glen_b bertanya apakah normalitas gabungan dan diperlukan untuk menyatakan normalitas jumlah ? Normalitas sendi itu sudah cukup , tentu saja, sudah terkenal. Pertanyaan tambahan ini tidak dibahas di sana, dan mungkin layak dipertimbangkan sendiri. $X$ $Y$ $X+Y$

Karena normalitas sendi menyiratkan normalitas marginal, saya bertanya

Apakah terdapat variabel acak normal $X$ dan $Y$ sehingga $X+Y$ adalah variabel acak normal, tapi $X$ dan $Y$ yang tidak bersama-sama variabel acak normal?

Jika $X$ dan $Y$ tidak perlu memiliki distribusi normal, maka mudah untuk menemukan variabel acak normal tersebut. Salah satu contoh dapat ditemukan di jawaban saya sebelumnya (tautan diberikan di atas). Saya percaya bahwa jawaban untuk pertanyaan yang disorot di atas adalah Ya, dan telah memposting (apa yang saya pikirkan) sebagai contoh untuk pertanyaan ini.

— Dilip Sarwate
sumber

2

Bagaimana Anda ingin berurusan dengan distribusi yang merosot? Sebagai contoh, jika adalah standar normal dan , maka distribusi gabungan dan adalah distribusi normal yang merosot dan adalah standar normal.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

— Brian Borchers

@BrianBorchers dan adalah variabel acak bersama yang normal meskipun distribusinya seperti yang Anda katakan. Definisi standar normalitas sendi adalah bahwa dan adalah normal bersama jika adalah normal untuk semua pilihan . Di sini, adalah kasus degenerasi yang disebut variabel acak normal sebagai rasa hormat.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$

— Dilip Sarwate

11

Biarkan menjadi iid . $U,V$ $N(0,1)$

Sekarang ubah sebagai berikut: $(U,V) \to (X,Y)$

Di kuadran pertama (yaitu ) biarkan dan . $U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

Untuk kuadran lain, putar pemetaan ini tentang asal.

Distribusi bivariat yang dihasilkan terlihat seperti (terlihat dari atas):

$\hspace{1.5 cm}$

- ungu mewakili daerah dengan probabilitas dua kali lipat dan daerah putih adalah yang tanpa probabilitas. Lingkaran hitam adalah kontur dengan kerapatan konstan (di mana saja pada lingkaran untuk , tetapi di dalam setiap wilayah berwarna untuk ). $(U,V)$ $(X,Y)$

Dengan simetri baik dan adalah standar normal (melihat ke bawah garis vertikal atau sepanjang garis horizontal ada titik ungu untuk setiap titik putih yang dapat kita anggap sebagai terbalik di sumbu garis horizontal atau vertikal melintasi) $X$ $Y$
tetapi jelas tidak normal bivariat, dan $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ yang merupakan (ekuivalen, lihatlah sepanjang garis konstanta dan lihat bahwa kita memiliki simetri yang sama dengan yang kita bahas di 1., tetapi kali ini tentang Garis ) $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

1

+1 dan a Accept; konstruksi ini jauh lebih bagus daripada yang ada di jawaban saya sendiri!

— Dilip Sarwate

5

Pertimbangkan variabel acak kontinu bersama dengan fungsi kerapatan gabungan mana menunjukkan fungsi kepadatan normal normal. $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

Jelas bahwa , dan adalah variabel acak dependen . Juga jelas bahwa mereka bukan variabel acak bersama yang normal. Namun, ketiga pasangan adalah variabel acak independen berpasangan : pada kenyataannya, variabel acak normal standar independen (dan dengan demikian berpasangan bersama-sama variabel acak normal). Singkatnya, adalah contoh variabel acak normal yang berpasangan, tetapi tidak saling independen. Lihat jawaban saya ini untuk lebih jelasnya. $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

Perhatikan bahwa independensi berpasangan memberi kita bahwa , dan semuanya adalah variabel acak normal rata-rata nol dengan varian . Sekarang, mari kita mendefinisikan dan perhatikan bahwa juga merupakan variabel acak normal rata-rata nol dengan varian . Juga, , sehingga dan adalah variabel acak yang tergantung dan berkorelasi. $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ dan adalah (berkorelasi) variabel acak normal yang tidak bersama-sama normal tetapi memiliki sifat bahwa jumlah mereka adalah variabel acak normal. $Y$ $X+Y$

Dengan kata lain, normalitas sendi adalah kondisi yang cukup untuk menyatakan normalitas sejumlah variabel acak normal, tetapi itu bukan kondisi yang diperlukan.

Bukti bahwa dan tidak secara bersama-sama normal $X$ $Y$
Karena transformasi adalah linier, mudah untuk mendapatkan bahwa . Karenanya kita memiliki Tetapi memiliki properti yang nilainya bukan nol hanya ketika tepat satu atau ketiga argumennya tidak negatif. Sekarang anggaplah . Kemudian, memiliki nilai untuk $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$ dan sebaliknya. Jadi, untuk , Sekarang, dan dengan memperluas dan melakukan beberapa pengaturan ulang integand di , kita dapat menulis di mana adalah normal random variabel dengan rata-rata

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ dan varian . Kedua istilah di dalam tanda kurung siku melibatkan standar normal CDF dengan argumen yang merupakan (berbeda) fungsi dari kedua dan . Dengan demikian, adalah tidak kepadatan normal bivariat meskipun kedua dan adalah variabel acak normal, dan jumlah mereka adalah variabel acak normal.

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

Komentar: Normalitas gabungan dan sudah cukup untuk normalitas tetapi juga berimplikasi jauh lebih banyak: adalah normal untuk semua pilihan . Di sini, kita perlu menjadi normal untuk hanya tiga pilihan , yaitu., mana dua yang pertama menegakkan yang sering diabaikan kondisi (lihat misalnya jawaban oleh ) bahwa kepadatan (marginal) dan harus kepadatan normal, dan yang ketiga mengatakan bahwa jumlah juga harus memiliki kepadatan normal. Jadi, kita bisa $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ memiliki variabel acak normal yang tidak bersama - sama normal tetapi yang jumlahnya normal karena kami tidak peduli apa yang terjadi untuk pilihan lain . $(a,b)$

— Dilip Sarwate
sumber