Satu sisi ketidaksetaraan Chebyshev untuk momen yang lebih tinggi

Apakah ada analogi ketidaksetaraan Chebyshev saat yang lebih tinggi dalam kasus satu sisi?

Ketidaksamaan Chebyshev-Cantelli hanya berfungsi untuk varians, sedangkan ketidaksetaraan Chebyshev dapat dengan mudah diproduksi untuk semua eksponen.

Apakah ada yang tahu tentang ketimpangan satu sisi menggunakan momen yang lebih tinggi?

Untuk kenyamanan, misalkan menunjukkan variabel acak nol-rata-rata kontinu dengan fungsi kerapatan , dan pertimbangkan mana . Kami memiliki mana . Jika adalah bilangan bulat genap dan bilangan real positif apa pun, maka dan begitu $X$$f(x)$$P\{X \geq a\}$$a > 0$

$$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$$ $g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$$n$$b$ $$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$$ $$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$$ Jadi kita memiliki itu untuk semua bilangan real positif dan , di mana harapan paling kanan di adalah th saat ( bahkan) dari tentang . Ketika , batas atas terkecil pada diperoleh ketika memberikan ketidaksamaan Chebyshev satu sisi (atau ketidaksetaraan Chebyshev-Cantelli): Untuk nilai lebih besar , minimalisasi sehubungan dengan$a$$b$(1)nnX-bn=2P{X≥a}b=σ2/aP{X≥a}≤σ $$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$$ $(1)$$n$$n$$X$$-b$$n = 2$$P\{X \geq a\}$$b = \sigma^2/a$n $$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$$ $n$$b$ lebih berantakan.