Jumlah kartu tak terlihat yang diharapkan saat menggambar kartu

10

Kami memiliki setumpuk kartu . Kami mengambil kartu dari seragam secara acak dengan penggantian. Setelah menarik apa yang diharapkan jumlah kartu tidak pernah dipilih? $n$ $2n$

Pertanyaan ini adalah bagian 2 dari masalah 2.12 di

M. Mitzenmacher dan E. Upfal, Probabilitas dan Komputasi: Algoritma Acak dan Analisis Probabilistik , Cambridge University Press, 2005.

Juga, untuk apa nilainya, ini bukan masalah pekerjaan rumah. Ini belajar mandiri dan saya hanya terjebak.

Jawaban saya sejauh ini adalah:

Biarkan menjadi jumlah kartu berbeda yang terlihat setelah undian ke- . Kemudian: $X_i$ $i$

$E[X_i] = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k (\frac{k}{n}P(X_{i-1}=k) + \frac{n-k-1}{n} P(X_{i-1}=k-1))$

Idenya di sini adalah bahwa setiap kali kita menggambar, kita menggambar kartu yang telah kita lihat atau menggambar kartu yang belum kita lihat, dan kita dapat mendefinisikan ini secara rekursif.

Akhirnya, jawaban untuk pertanyaan, berapa banyak yang telah kita tidak terlihat setelah menarik, akan . $2n$ $n-E[X_{2n}]$

Saya percaya ini benar, tetapi harus ada solusi yang lebih sederhana.

Bantuan apa pun akan sangat dihargai.

probability expected-value

— Craig Wright
sumber

Sudahkah Anda mensimulasikan dan membandingkan hasil?

— Adam

10

Petunjuk: Pada setiap pengundian yang diberikan, probabilitas bahwa kartu tidak dipilih adalah . Dan karena kita menggambar dengan penggantian, saya berasumsi kita dapat mengatakan bahwa masing-masing undian tidak bergantung pada yang lain. Jadi probabilitas bahwa kartu tidak dipilih dalamundianadalah ... $\frac{n-1}{n}$ $2n$

3

(+1) Ini memberikan awal pertama yang baik. Menggabungkan ini dengan linearitas harapan mengarah ke solusi yang ekonomis dan elegan.

— kardinal

6

Terima kasih Mike atas petunjuknya.

Inilah yang saya pikirkan.

$X_i$ $X_i = 1$ $i^{th}$ $p_i = P(X_i=1) = (\frac{n-1}{n})^{2n}$ $p_i$ $i$ $p=p_i$

$\displaystyle X = \sum_{i=1}^n X_i$ $2n$

$\displaystyle E[X] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n p = np$

Dan itu menurut saya.

— Craig Wright
sumber

4

n

$n$

p \approx e^{- 2}

$p \approx e^{-2}$

Mungkin sedikit lebih rumit dari itu. Peluang kartu (i) terlewatkan adalah seperti yang Anda tulis. Namun, begitu kita tahu bahwa kartu (i) tidak terjawab, kemungkinan kartu yang hilang (j) berubah. Saya tidak tahu apakah masalah independensi akan mengubah hasil akhir tetapi memperumit derivasi.

— Emil Friedman

@Emil Friedman: Ekspektasi linier apakah puncaknya independen atau tidak. Kurangnya independensi memengaruhi kuantitas seperti varians, tetapi tidak pada ekspektasi.

— Douglas Zare

4

Berikut adalah beberapa kode R untuk memvalidasi teori.

evCards <- function(n) 
{
    iter <- 10000;
    cards <- 1:n;
    result <- 0;
    for (i in 1:iter) {
        draws <- sample(cards,2*n,T);
        uniqueDraws <- unique(draws,F);
        noUnique <- length(uniqueDraws);
        noNotSeen <- n - noUnique;
        result <- result + noNotSeen;
    }
    simulAvg <- result/iter;
    theoryAvg <- n * ((n-1)/n)^(2*n);
    output <-list(simulAvg=simulAvg,theoryAvg=theoryAvg);
    return (output);
}

— varty
sumber