Berapa banyak istilah terbesar dalam

Pertimbangkan $\sum_{i=1}^N |X_i|$ di mana $X_1, \ldots, X_N$ adalah id dan CLT berlaku.
Berapa banyak istilah terbesar yang menambahkan hingga setengah jumlah total?
Misalnya, 10 + 9 + 8 $\approx$ (10 + 9 + 8 $\dots$ + 1) / 2: 30% dari persyaratan mencapai sekitar setengah dari total.

Menetapkan
$\qquad\text{sumbiggest( j}; X_1 \dots X_N ) \equiv \text{sum of the j biggest of } |X_1| \dots |X_N|$
$\qquad\text{halfsum}( N ) \equiv \text{the smallest j such that sumbiggest( j )} \approx \text{sumbiggest}( N ) / 2 .$

Apakah ada hasil asimptotik umum untuk halfsum ( $N, \mu, \sigma$ )?
Derivasi yang sederhana dan intuitif akan menyenangkan.

(Sedikit Monte Carlo menunjukkan bahwa kadang-kadang halfsum ( $N$ ) $\approx N$ / 4 atau lebih;
yaitu, 1/4 terbesar dari $X_i$ tambahkan hingga 1/2 total.
Saya mendapatkan 0,24 $N$ untuk setengah normal, 0,19 $N$ untuk eksponensial, untuk $N$ = 20, 50, 100.)

central-limit-theorem asymptotics

— denis
sumber

Jangan mengharapkan hasil universal seperti CLT. Misalnya, jawaban untuk varian seragam (0,1) akan sangat berbeda dari jawaban untuk varian seragam (1000,1001)!

— whuber

Benar, halfsum tentu saja akan tergantung pada mean dan sd. Tapi mengapa ~ N / 5 untuk eksponensial?

— denis

Asimtotik, Denis, cutoff untuk halfsum akan menjadi nilai

yang

dimana

adalah pdf untuk

; pertanyaannya menanyakan

(

adalah cdf untuk

). Dalam hal seragam

x

$x$

\int_{0}^{x} t f (t) d t = 1 / 2

$\int_0^x t f(t)dt = 1/2$

f

$f$

| X_{i} |

$|X_i|$

N (1 - F (x))

$N(1-F(x))$

F

$F$

| X_{i} |

$|X_i|$

[0, 1]

$[0,1]$ distribusi Anda mendapatkan jawaban @ Dilip; untuk eksponensial,

x \approx 0.186682 N \approx N / 5

$x\approx 0.186682 N \approx N/5$

— whuber

Jawaban:

Tidak, tidak ada hasil asimptotik umum. Biarkan menjadi urutan , di mana adalah yang terbesar. $x_{[1]} \dots x_{[N]}$ $x_i$ $x_{[1]}$

Perhatikan dua contoh berikut:

1) . Jelas bahwa CLT berlaku. Anda hanya perlu observasi untuk $P(x=0) = 1$ $M=1$ . $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

$P(x=1) = 1$ $M=\lceil N/2\rceil$ $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

Sebagai contoh nontrivial, distribusi Bernoulli:

$P(x=1) = p,\space P(x=0) = 1-p$ $\lceil pN/2\rceil$ $p$

— Jbowman
sumber

0

$0$

N / 2

$N/2$

x [i]

$x[i]$

$X_i$ $[0,1]$ $\sum_i X_i$ $N/2$ $N/2$ $X$ $N/4$ $N$ $N$ $U[0,1]$ $0$ $1$ $x$ $0 < x < 1$ $(1-x)N$ $x$ $1$ $(1+x)/2$ $(1-x)N(1+x)/2) = (1-x^2)N/2$ $N/4$ $x \leq 1/\sqrt{2}$ $(1-1/\sqrt{2})N \approx 0.3N$ $N/4$

$\sum_i X_i = Y$ $Y$ $x$ $(1-x^2)N/2 = Y/2$ $Y$ $N/2$ $N/12$ $Y$ $x = \sqrt{1-(Y/N)}$ $Y$ $Y=0$ $Y=N$

— Dilip Sarwate
sumber

(0, 1)

$(0,1)$

1

$1$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n + 1}

$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n+1}$

Y_{max} = α

$Y_{\max} = \alpha$

Y_{(1)}, Y_{(2)}, \dots, Y_{(n)}

$Y_{(1)}, Y_{(2)}, \ldots, Y_{(n)}$ didistribusikan secara seragam dalam . Lihat, misalnya, pertanyaan dan jawaban ini di situs pendamping math.SE. (lanjutan)

(0, α)

$(0, \alpha)$

— Dilip Sarwate

Bagaimanapun, argumen saya tidak menggunakan jarak antara sampel yang dipesan dari distribusi seragam.

— Dilip Sarwate

Anda benar, saya salah paham dengan Anda. Sebagai pertanyaan sampingan, bukankah potongan antara titik seragam-acak didistribusikan secara eksponensial, setelah penskalaan - kebalikan dari q + a Anda? [Patah Tongkat Aturan dari Proyek Demonstrasi Wolfram] ( demonstrations.wolfram.com/BrokenStickRule ) pasti terlihat eksponensial, pasti ada yang mudah? bukti.

— denis

Silakan ajukan pertanyaan sampingan Anda sebagai pertanyaan terpisah.

— Dilip Sarwate

Mulai, lalu lihat probabilitas-distribusi-panjang-fragmen , Anda bisa berkomentar di sana.

— denis

Mari kita asumsikan X hanya memiliki nilai positif untuk menghilangkan nilai absolut.

Tanpa bukti yang pasti, saya pikir Anda harus menyelesaikannya untuk k

$(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)= \frac{1}{2} E(X)$ dengan F menjadi fungsi distribusi kumulatif untuk X

dan kemudian jawabannya diberikan dengan mengambil nilai tertinggi. $n(1-F_X(k))$

Logika saya adalah bahwa asymtopically jumlah semua nilai yang lebih tinggi dari k seharusnya

$n(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)$

dan setengah dari jumlah total adalah sekitar

$\frac{1}{2}nE(X)$ .

Simulasi numerik menunjukkan bahwa hasilnya berlaku untuk kasus seragam (seragam dalam ) di mana dan saya mendapatkan . Saya tidak yakin apakah hasilnya selalu bertahan atau apakah bisa disederhanakan lebih lanjut, tapi saya pikir itu sangat tergantung pada fungsi distribusi F. $[0,1]$ $F(k)=k$ $k=\sqrt(\frac{1}{2})$

— Erik
sumber