Buktikan hubungan antara jarak Mahalanobis dan Leverage?

Saya telah melihat formula di Wikipedia. yang menghubungkan jarak Mahalanobis dan Leverage:

Jarak mahalanobis terkait erat dengan statistik leverage, $h$ , tetapi memiliki skala yang berbeda:
$D^{2} = (N - 1) (h - \frac{1}{N}) .$ $D^2 = (N - 1)(h - \tfrac{1}{N}).$

Dalam artikel tertaut , Wikipedia menggambarkan $h$ dalam istilah ini:

Dalam model regresi linear, nilai leverage yang untuk $i^{th}$ data unit didefinisikan sebagai:
$h_{i i} = (H)_{i i},$ $h_{ii}=(H)_{ii},$ yang $i^{th}$ elemen diagonal dari topi matriks $H=X(X^{\top}X)^{-1}X^{\top}$ , di mana menunjukkan matriks transpos. $^{\top}$

Saya tidak dapat menemukan bukti di mana pun. Saya mencoba memulai dari definisi tetapi saya tidak dapat membuat kemajuan. Adakah yang bisa memberi petunjuk?

— dave2d
sumber

Deskripsi saya tentang jarak Mahalanobis di Bawah ke atas penjelasan tentang jarak Mahalanobis? termasuk dua hasil utama:

Menurut definisi, itu tidak berubah ketika para regresi secara seragam bergeser.
Jarak Mahalanobis kuadrat antara vektor $x$ dan $y$ diberikan oleh
$D^{2} (x, y) = (x - y)^{'} Σ^{- 1} (x - y)$ $D^2(x,y) = (x-y)^\prime \Sigma^{-1}(x-y)$ mana $\Sigma$ adalah kovarian data.

(1) memungkinkan kita untuk mengasumsikan bahwa sarana dari para regressor semuanya nol. Masih menghitung $h_i$ . Namun, agar klaim itu benar, kita perlu menambahkan satu asumsi lagi:

Model harus menyertakan intersep.

Mengizinkan ini, biarkan ada $k \ge 0$ regressor dan $n$ data, tulis nilai regressor $j$ untuk observasi $i$ sebagai $x_{ij}$ . Biarkan vektor kolom dari nilai-nilai $n$ ini untuk regressor $j$ ditulis $\mathbf{x}_{,j}$ dan vektor baris dari nilai-nilai $k$ ini untuk observasi $i$ ditulis $\mathbf{x}_i$ . Maka model matriksnya adalah

X = (\begin{matrix} 1 & x_{11} & \dots & x_{1 k} \\ 1 & x_{21} & \dots & x_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n 1} & \dots & x_{n k} \end{matrix})

$X = \pmatrix{ 1 &x_{11} &\cdots &x_{1k} \\ 1 &x_{21} &\cdots &x_{2k} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 1 &x_{n1} &\cdots &x_{nk}}$

dan, menurut definisi, matriks topi adalah

H = X (X^{'} X)^{- 1} X^{'},

$H = X(X^\prime X)^{-1} X^\prime,$

dari mana entri $i$ sepanjang diagonal adalah

\begin{matrix} (1) & h_{i} = h_{i i} = (1; x_{i}) (X^{'} X)^{- 1} (1; x_{i})^{'} . \end{matrix}

$h_i = h_{ii} = (1; \mathbf{x}_i) (X^\prime X)^{-1} (1; \mathbf{x}_i)^\prime.\tag{1}$

Tidak ada yang bisa dilakukan selain mengerjakan invers matriks pusat - tetapi berdasarkan hasil utama pertama, mudah, terutama ketika kita menulisnya dalam bentuk blok-matriks:

X^{'} X = n (\begin{matrix} 1 & 0^{'} \\ 0 & C \end{matrix})

$X^\prime X = n\pmatrix{1 & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & C}$

di mana $\mathbf{0} = (0,0,\ldots,0)^\prime$ dan

C_{j k} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} x_{i k} = \frac{n - 1}{n} Cov (x_{j}, x_{k}) = \frac{n - 1}{n} Σ_{j k} .

$C_{jk} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{ij} x_{ik} = \frac{n-1}{n}\operatorname{Cov}(\mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k) = \frac{n-1}{n}\Sigma_{jk}.$

$\Sigma$

(X^{'} X)^{- 1} = \frac{1}{n} (\begin{matrix} 1 & 0^{'} \\ 0 & C^{- 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{n} & 0^{'} \\ 0 & \frac{1}{n - 1} Σ^{- 1} \end{matrix}) .

$(X^\prime X)^{-1} = \frac{1}{n}\pmatrix{1 & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & C^{-1}} = \pmatrix{\frac{1}{n} & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & \frac{1}{n-1}\Sigma^{-1}}.$

$(1)$

\begin{aligned} h_{i} & = (1; x_{i}) (\begin{matrix} \frac{1}{n} & 0^{'} \\ 0 & \frac{1}{n - 1} Σ^{- 1} \end{matrix}) (1; x_{i})^{'} \\ = \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} x_{i} Σ^{- 1} x_{i}^{'} \\ = \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} D^{2} (x_{i}, 0) . \end{aligned}

$\eqalign{ h_i &= (1; \mathbf{x}_i) \pmatrix{\frac{1}{n} & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & \frac{1}{n-1}\Sigma^{-1}}(1; \mathbf{x}_i)^\prime \\ &=\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1}\mathbf{x}_i \Sigma^{-1}\mathbf{x}_i^\prime \\ &=\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} D^2(\mathbf{x}_i, \mathbf{0}). }$

$D_i^2 = D^2(\mathbf{x}_i, \mathbf{0})$

D_{i}^{2} = (n - 1) (h_{i} - \frac{1}{n}),

$D_i^2 = (n-1)\left(h_i - \frac{1}{n}\right),$

QED .

$1/n$ $X$ $n-1$ $n-1$ $n$

$i$

Kode R untuk menunjukkan bahwa relasi memang berlaku:

x <- mtcars

# Compute Mahalanobis distances
h <- hat(x, intercept = TRUE); names(h) <- rownames(mtcars)
M <- mahalanobis(x, colMeans(x), cov(x))

# Compute D^2 of the question
n <- nrow(x); D2 <- (n-1)*(h - 1/n)

# Compare.
all.equal(M, D2)               # TRUE
print(signif(cbind(M, D2), 3))

— whuber
sumber

Jawaban luar biasa, sangat lengkap dengan ketelitian dan intuisi. Bersulang!

— cgrudz

Terima kasih untuk kiriman @whuber! Untuk pemeriksaan kewarasan, berikut adalah kode R untuk menunjukkan bahwa relasinya memang berlaku: x <- mtcars rownames (x) <- NULL colnames (x) <- NULL n <- nrow (x) h <- hat (x, T) mahalanobis (x, colMeans (x), cov (x)) (n-1) * (h - 1 / n) semua. sama (mahalanobis (x, colMeans (x), cov (x)), (n-1) ) * (h - 1 / n))

— Tal Galili

@Tal Saya tidak berpikir saya perlu cek kewarasan - tetapi terima kasih atas kodenya. :-) Saya telah membuat modifikasi untuk mengklarifikasi dan hasilnya sedikit.

— Whuber

@whuber, saya ingin contoh yang menunjukkan bagaimana membuat kesetaraan bekerja (menjelaskan kepada saya bahwa saya memiliki asumsi yang benar). Saya juga telah memperpanjang entri Wiki yang relevan: en.wikipedia.org/wiki/… (jangan ragu untuk juga membelanjakannya di sana, sesuai keinginan Anda :))

— Tal Galili