Bisakah saya mengambil keputusan menggunakan faktor Bayes?

Faktor Bayes menunjukkan seberapa baik model tertentu didukung. Katakanlah saya menjalankan percobaan terkontrol dan saya memiliki dua model: model nol dan model alternatif.

Jika saya memiliki faktor Bayes yang tinggi, dapatkah saya berpendapat bahwa pengobatannya efektif dan mengusulkan untuk melakukan perubahan?

hypothesis-testing bayes bayes-factors

— amuba
sumber

Bisakah Anda menjelaskan lebih detail? Apa sebenarnya skenario pengambilan keputusan Anda? Dua model apa yang Anda miliki? Apa yang tidak jelas tentang penggunaan faktor Bayes untuk Anda?

— Tim

Apakah atau tidak untuk membuat obat baru adalah skenario keputusan. Kami ingin menentukan apakah obat ini benar-benar efektif.

Catatan: Bayes Factors dapat menjadi sangat sensitif terhadap rincian prior yang tidak informatif (dan tidak ditentukan untuk yang tidak tepat). Namun, skenario pengujian obat sketsa juga mengundang masalah inferensi sederhana yang ditetapkan dalam model tunggal yang memiliki parameter yang mewakili efek dari perawatan obat. Dengan begitu Anda akan mendapatkan interval kredibel untuk ukuran efek sebagai bonus.

— conjugateprior

Saya tidak mengerti mengapa seseorang memilih untuk menutup ini sebagai tidak jelas. Saya pikir itu sangat jelas dan jawabannya pada dasarnya Ya, tetapi tentu saja dengan beberapa peringatan seperti misalnya ditunjukkan oleh @conjugateprior (+1). Namun, kalimat pertama dari pertanyaan Anda ("Faktor Bayes menunjukkan seberapa baik model tertentu didukung") salah: Faktor Bayes adalah untuk membandingkan dua model.

— amoeba

Tidak, tidak ada 'penaksir Bayesian' atau bahkan, secara tegas 'estimasi Bayesian' (meskipun ada penaksir yang dapat memiliki motivasi Bayesian). Di sisi lain, ada inferensi Bayesian. Tetapi apa yang Anda dapatkan dari itu bukan merupakan estimator, atau bahkan estimasi, tetapi distribusi bersama untuk semua jumlah yang tidak diketahui yang disebutkan dalam model (alias posterior) dikondisikan pada data.

— conjugateprior

Ini adalah pertanyaan yang sangat bagus dan mendalam.

Sementara buku teks tradisional (seperti milik saya ) cenderung mempromosikan faktor Bayes sebagai setara dengan probabilitas posterior dari nol dan hipotesis alternatif atau dari dua model yang dibandingkan, yang secara formal benar seperti yang dirinci dalam ekstrak berikut dari Pilihan Bayesian saya , saya sekarang cenderung berpikir bahwa faktor Bayes per se seharusnya tidak digunakan untuk pengambilan keputusan melainkan sebagai ukuran bukti relatif dari satu model versus yang lain. Misalnya, menggunakan $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)=1$ karena garis pemisah antara nol dan alternatif (atau antara model a dan model b) tidak menurut saya pilihan alami. Lebih jauh, saya tidak berpikir kerugian 0-1 yang dianjurkan oleh Neyman dan Pearson dan kemudian diadopsi oleh hampir semua orang masuk akal dan membawa dukungan apa pun pada interpretasi keputusan faktor Bayes.

Perspektif saya saat ini pada faktor Bayes lebih dalam mode prediksi sebelum atau posterior di mana perilaku dinilai di bawah kedua model, untuk mengkalibrasi nilai yang diamati terhadap distribusi sebelum dan dari . Ini menjauhkan kita dari perspektif pengambilan keputusan. $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$ $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$ $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$

[Dari The Bayesian Choice , 2007, Bagian 5.2.2, halaman 227]

Dari sudut pandang decision-theoretic, faktor Bayes hanya merupakan transformasi satu-ke-satu dari probabilitas posterior, tetapi gagasan ini keluar untuk dipertimbangkan pada tempatnya sendiri dalam pengujian Bayesian.

The Faktor Bayes adalah rasio probabilitas posterior dari nol dan hipotesis alternatif atas rasio probabilitas sebelumnya dari nol dan hipotesis alternatif, yaitu,
$B_{01}^{π} (x) = \frac{P (θ \in Θ_{0} ∣ x)}{P (θ \in Θ_{1} ∣ x)} / \frac{π (θ \in Θ_{0})}{π (θ \in Θ_{1})} .$ $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x) = {\mathbb{P}(\theta \in \Theta_ 0\mid x) \over \mathbb{P}(\theta \in \Theta_1\mid x)} \bigg/ {\pi(\theta \in \Theta_ 0) \over \pi(\theta \in \Theta_ 1)}.$
Rasio ini mengevaluasi modifikasi peluang terhadap karena pengamatan dan secara alami dapat dibandingkan dengan , meskipun skala perbandingan yang tepat hanya dapat didasarkan pada fungsi kerugian. $\Theta_0$ $\Theta_1$ $1$

Faktor Bayes, dari sudut pandang teoretik keputusan-Bayesian, sepenuhnya sama dengan probabilitas posterior hipotesis nol karena diterima ketika mana $H_0$
$B_{01}^{π} (x) \geq \frac{a_{1}}{a_{0}} / \frac{ρ_{0}}{ρ_{1}} = \frac{a_{1} ρ_{1}}{a_{0} ρ_{0}},$ $B^\pi_{01} (x) \ge {a_1\over a_0} \big/ {\rho_0 \over \rho_1} = {a_1\rho_1 \over a_0\rho_0},$ $\begin{aligned} ρ_{0} & = π (θ \in Θ_{0}) and \\ ρ_{1} & = π (θ \in Θ_{1}) \\ = 1 - ρ_{0} . \end{aligned}$ $\begin{align*} \rho_0 &= \pi(\theta\in\Theta_0) \quad \hbox{ and } \nonumber\\ \rho_1 &= \pi(\theta\in\Theta_1)\\ &=1-\rho_0. \end{align*}$

dan di mana dan adalah hukuman karena salah memilih alternatif dan hipotesis nol atau model dan . masing-masing, dalam formulasi Neyman-Pearson: $a_0$ $a_1$ $\mathfrak{M}_0$ $\mathfrak{M}_1$

L (θ, φ) = {\begin{cases} 0 & if φ = I_{Θ_{0}} (θ), \\ a_{0} & if θ \in Θ_{0} and φ = 0, \\ a_{1} & if θ \notin Θ_{0} and φ = 1, \end{cases}

$\mathfrak{L}(\theta, \varphi) = \begin{cases} 0 &\text{if $\varphi=\mathbb{I}_{\Theta_0}(\theta)$,} \cr a_0 &\text{if $\theta\in\Theta_0$ and $\varphi=0$,} \cr a_1 &\text{if $\theta\not\in\Theta_0$ and $\varphi=1$,}\cr\end{cases}$

— Xi'an
sumber

(+1) Mungkin Anda harus menambahkan bahwa dan adalah hukuman yang terkait dengan kesalahan ketika nol benar atau salah.

a_{0}

$a_0$

a_{1}

$a_1$

— peuhp

Xi'an jawaban yang menakjubkan. Terima kasih atas tanggapannya, saya sangat menghargainya.

+1. Saya memformat kutipan dari buku teks Anda sebagai kutipan - permintaan maaf jika Anda tidak ingin memilikinya seperti itu untuk beberapa alasan (jangan ragu untuk mengembalikan suntingan saya). Saya juga menghapus kata-kata "Panayiota Touloupou" yang entah bagaimana masuk ke definisi selama revisi terakhir.

— amoeba