Perkirakan pusat dan jari-jari bola dari titik-titik di permukaan

Jika kita mengasumsikan bahwa titik data kita disampel dari permukaan bola (dengan beberapa gangguan), bagaimana kita dapat memulihkan pusat bola itu?

Dalam pencarian saya, saya menemukan makalah tentang sesuatu yang diberi label "regresi bola", tetapi sepertinya tidak melakukan hal yang sama. Mungkin saya hanya tidak memahaminya.

Apakah ada rumus langsung, mirip dengan regresi linier, yang menemukan titik pusat bola dan jari-jari yang meminimalkan jarak kuadrat dari satu set titik data dari permukaan bola?

Edit 1:

Kita dapat mengasumsikan bahwa derau akan 2 atau 3 orde besarnya lebih kecil dari jari-jari bola dan Gaussian berbentuk bola yang seragam. Namun, sampel itu sendiri pasti tidak akan diambil secara seragam dari permukaan bola, tetapi kemungkinan akan dikelompokkan dalam beberapa tambalan di permukaan, kemungkinan semua dalam satu belahan bumi. Solusi yang berfungsi untuk data dalam$\mathbb R^3$ baik-baik saja, tetapi solusi umum untuk dimensi arbitrer juga bagus.

Edit 2:

Apa peluang saya mendapatkan jawaban yang masuk akal jika saya menggunakan regresi linier, $y = X\beta + \epsilon$, dalam ruang 7 dimensi berpura-pura bahwa komponen kuadrat independen dari parameter lain:

$\begin{align} X &= \begin{array}{ccccccc}[-2x& -2y&-2z&1&1&1&-1]\end{array}\\ \beta &= \begin{array}{ccccccc}[x_0 & y_0 & z_0 & x_0^2 & y_0^2 & z_0^2 & r^2]'\end{array}\\ y &= x^2+y^2+z^2\end{align}$

Paling-paling, saya kira metrik kesalahan saya akan sedikit aneh. Paling buruk solusinya bahkan tidak akan mendekati konsisten.
... atau itu konyol karena dengan empat kolom identik, kita mendapatkan matriks singular ketika kita mencoba melakukan regresi.

Edit 3:

Jadi, sepertinya ini adalah opsi saya:

1. Optimasi numerik non-linear menggunakan beberapa fungsi biaya: $f(x_0,y_0,z_0,r|X) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \left(r - \sqrt{(x_i-x_0)^2+(y_i-y_0)^2+(z_i-z_0)^2}\right)^2$
2. Hough-transform: diskritkan ruang yang masuk akal atau kemungkinan pusat dan jari-jari di sekitar titik data. Setiap titik memberikan suara untuk pusat-pusat potensial yang bisa menjadi bagian dari setiap diskritisasi radius tertentu. Kebanyakan suara menang. Ini mungkin baik-baik saja jika ada potensi jumlah bola yang tidak diketahui, tetapi dengan hanya satu itu solusi yang berantakan.
3. Secara acak (atau sistematis) memilih grup dengan 4 poin dan secara analitik menghitung pusat . Tolak pengambilan sampel jika tidak dikondisikan (poin hampir co-planar). Tolak pencilan dan temukan pusat nilai tengah. Dari sana kita dapat menemukan radius rata-rata.

Adakah yang punya metode yang lebih baik?

Berikut adalah beberapa Rkode yang menunjukkan satu pendekatan menggunakan kuadrat terkecil:

# set parameters

mu.x <- 8
mu.y <- 13
mu.z <- 20
mu.r <- 5
sigma <- 0.5

# create data
tmp <- matrix(rnorm(300), ncol=3)
tmp <- tmp/apply(tmp,1,function(x) sqrt(sum(x^2)))

r <- rnorm(100, mu.r, sigma)

tmp2 <- tmp*r

x <- tmp2[,1] + mu.x
y <- tmp2[,2] + mu.y
z <- tmp2[,3] + mu.z


# function to minimize
tmpfun <- function(pars) {
    x.center <- pars[1]
    y.center <- pars[2]
    z.center <- pars[3]
    rhat <- pars[4]

    r <- sqrt( (x-x.center)^2 + (y-y.center)^2 + (z-z.center)^2 )
    sum( (r-rhat)^2 )
}

# run optim
out <- optim( c(mean(x),mean(y),mean(z),diff(range(x))/2), tmpfun )
out


# now try a hemisphere (harder problem)

tmp <- matrix(rnorm(300), ncol=3)
tmp[,1] <- abs(tmp[,1])
tmp <- tmp/apply(tmp,1,function(x) sqrt(sum(x^2)))

r <- rnorm(100, mu.r, sigma)

tmp2 <- tmp*r

x <- tmp2[,1] + mu.x
y <- tmp2[,2] + mu.y
z <- tmp2[,3] + mu.z

out <- optim( c(mean(x),mean(y),mean(z),diff(range(y))/2), tmpfun )
out

Jika Anda tidak menggunakan Rmaka Anda masih bisa mengikuti logika dan traslate ke bahasa lain.

Secara teknis parameter jari-jari harus dibatasi oleh 0, tetapi jika variabilitasnya relatif kecil terhadap jari-jari yang sebenarnya maka metode yang tidak terikat harus bekerja dengan baik, atau optim memiliki opsi untuk melakukan optimasi yang dibatasi, (atau Anda bisa melakukan nilai absolut dari jari-jari dalam fungsi untuk meminimalkan).