Statistik Kemandirian dan Ketertiban


8

Saya memiliki masalah, yang tidak dapat saya lanjutkan. Bisakah seseorang membantu saya memulai?

Y1<Y2<Y3 : Statistik pesanan ukuran 3 dari distribusi yang memiliki pdf Juga, tentukan Tugasnya adalah untuk menghitung pdf gabungan dari .

f(x)=2x   0<x<1
U1=Y1Y2  and    U2=Y2Y3
U1 & U2

Pekerjaan saya: Saya menemukan margin dari .U1 & U2

P(U1u1)=010u1y2fY1,Y2(y1,y2)dy1dy2
P(U2u2)=010u2y3fY2,Y3(y2,y3)dy2dy3
Langkah apa yang harus saya lakukan selanjutnya?

Jawaban:


10

Berikut ini adalah panduan untuk menyelesaikan masalah ini (dan yang lainnya menyukainya). Saya menggunakan nilai simulasi untuk menggambarkan, jadi mari kita mulai dengan mensimulasikan sejumlah besar realisasi independen dari distribusi dengan kepadatan . (Semua kode dalam jawaban ini dituliskan .)fR

n <- 4e4 # Number of trials in the simulation
x <- matrix(pmax(runif(n*3), runif(n*3)), nrow=3)

# Plot the data
par(mfrow=c(1,3))
for (i in 1:3) {
  hist(x[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  curve(f(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Histogram data asli

Histogram menunjukkan realisasi independen dari elemen pertama, kedua, dan ketiga dari dataset. Grafik kurva merah . Bahwa mereka bertepatan dengan histogram menegaskan simulasi berfungsi sebagaimana dimaksud.40,000f

Anda harus kepadatan sambungan . (Y1,Y2,Y3)Karena Anda mempelajari statistik pesanan, ini harus rutin - tetapi kode memberikan beberapa petunjuk, karena plot distribusi mereka untuk referensi.

y <- apply(x, 2, sort)

# Plot the order statistics.
f <- function(x) 2*x
ff <- function(x) x^2
for (i in 1:3) {
  hist(y[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  k <- factorial(3) / (factorial(3-i)*factorial(1)*factorial(i-1))
  curve(k * (1-ff(x))^(3-i) * f(x) * ff(x)^(i-1), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Histogram dari statistik pesanan

Data yang sama telah disusun kembali dalam masing-masing dari dataset. Di sebelah kiri adalah histogram minima , di sebelah kanan maksimal , dan di tengah median mereka .40,000Y1Y3Y2

Selanjutnya, hitung distribusi gabungan secara langsung. (U1,U2) Menurut definisi ini

F(u1,u2)=Pr(U1u1,U2u2)=Pr(Y1u1Y2,Y2u2Y3).

Karena Anda telah menghitung densitas gabungan , ini adalah masalah rutin untuk melakukan integral (rangkap tiga) yang diekspresikan oleh probabilitas kanan. Wilayah integrasi harus(Y1,Y2,Y3)

0Y1u1Y2, 0Y2u2Y3, 0Y31.

Simulasi dapat memberi kita firasat tentang bagaimana didistribusikan: di sini adalah sebar nilai realisasi dari . Jawaban teoritis Anda harus menggambarkan kerapatan ini.(U1,U2)(U1,U2)

par(mfrow=c(1,1))
u <- cbind(y[1, ]/y[2, ], y[2, ]/y[3, ])
plot(u, pch=16, cex=1/2, col="#00000008", asp=1)

Scatterplot

Sebagai cek, kita dapat melihat distribusi marginal dan membandingkannya dengan solusi teoritis. Kepadatan marginal, ditampilkan sebagai kurva merah, diperoleh sebagai dan .F(u1,1)/u1F(1,u2)/u2

par(mfrow=c(1,2))
hist(u[, 1], freq=FALSE); curve(2*x, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
hist(u[, 2], freq=FALSE); curve(4*x^3, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
par(mfrow=c(1,1))

Histogram U_1 dan U_2

Sangat aneh bahwa memiliki distribusi yang sama dengan asli .U1Xi


3

Berikut ini adalah solusi simbolis yang tepat yang menelusuri langkah-langkah yang diperlukan ... di sini menggunakan alat otomatis untuk melakukan seluk-beluk

Biarkan menunjukkan sampel ukuran 3 dari induk pdf :(X1,X2,X3)f(x)

masukkan deskripsi gambar di sini

Kemudian, pdf gabungan dari sampel yang dipesan adalah say :(X(1),X(2),X(3))g(x1,x2,x3)

masukkan deskripsi gambar di sini

di mana saya menggunakan OrderStatfungsi membentuk paket mathStatica untuk Mathematica .

gabungan adalah :(U1,U2)P(X(1)X(2)<u1,X(2)X(3)<u2)

masukkan deskripsi gambar di sini

Pdf gabungan dari diturunkan dengan hanya membedakan cdf wrt dan :(U1,U2)u1u2

masukkan deskripsi gambar di sini

Akhirnya, sebagai pemeriksaan cepat Monte Carlo, berikut adalah perbandingan:

  • solusi teoritis yang tepat diturunkan (pdf bersama - permukaan oranye)

  • diplot terhadap piri simultan Monte Carlo yang disimulasikan (histogram 3D):

masukkan deskripsi gambar di sini

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.