Berikut ini adalah panduan untuk menyelesaikan masalah ini (dan yang lainnya menyukainya). Saya menggunakan nilai simulasi untuk menggambarkan, jadi mari kita mulai dengan mensimulasikan sejumlah besar realisasi independen dari distribusi dengan kepadatan . (Semua kode dalam jawaban ini dituliskan .)fR
n <- 4e4 # Number of trials in the simulation
x <- matrix(pmax(runif(n*3), runif(n*3)), nrow=3)
# Plot the data
par(mfrow=c(1,3))
for (i in 1:3) {
hist(x[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
curve(f(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}
Histogram menunjukkan realisasi independen dari elemen pertama, kedua, dan ketiga dari dataset. Grafik kurva merah . Bahwa mereka bertepatan dengan histogram menegaskan simulasi berfungsi sebagaimana dimaksud.40,000f
Anda harus kepadatan sambungan . (Y1,Y2,Y3)Karena Anda mempelajari statistik pesanan, ini harus rutin - tetapi kode memberikan beberapa petunjuk, karena plot distribusi mereka untuk referensi.
y <- apply(x, 2, sort)
# Plot the order statistics.
f <- function(x) 2*x
ff <- function(x) x^2
for (i in 1:3) {
hist(y[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
k <- factorial(3) / (factorial(3-i)*factorial(1)*factorial(i-1))
curve(k * (1-ff(x))^(3-i) * f(x) * ff(x)^(i-1), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}
Data yang sama telah disusun kembali dalam masing-masing dari dataset. Di sebelah kiri adalah histogram minima , di sebelah kanan maksimal , dan di tengah median mereka .40,000Y1Y3Y2
Selanjutnya, hitung distribusi gabungan secara langsung. (U1,U2) Menurut definisi ini
F(u1,u2)=Pr(U1≤u1,U2≤u2)=Pr(Y1≤u1Y2,Y2≤u2Y3).
Karena Anda telah menghitung densitas gabungan , ini adalah masalah rutin untuk melakukan integral (rangkap tiga) yang diekspresikan oleh probabilitas kanan. Wilayah integrasi harus(Y1,Y2,Y3)
0≤Y1≤u1Y2, 0≤Y2≤u2Y3, 0≤Y3≤1.
Simulasi dapat memberi kita firasat tentang bagaimana didistribusikan: di sini adalah sebar nilai realisasi dari . Jawaban teoritis Anda harus menggambarkan kerapatan ini.(U1,U2)(U1,U2)
par(mfrow=c(1,1))
u <- cbind(y[1, ]/y[2, ], y[2, ]/y[3, ])
plot(u, pch=16, cex=1/2, col="#00000008", asp=1)
Sebagai cek, kita dapat melihat distribusi marginal dan membandingkannya dengan solusi teoritis. Kepadatan marginal, ditampilkan sebagai kurva merah, diperoleh sebagai dan .∂F(u1,1)/∂u1∂F(1,u2)/∂u2
par(mfrow=c(1,2))
hist(u[, 1], freq=FALSE); curve(2*x, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
hist(u[, 2], freq=FALSE); curve(4*x^3, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
par(mfrow=c(1,1))
Sangat aneh bahwa memiliki distribusi yang sama dengan asli .U1Xi