Apakah ada rumus untuk median komputasi?

10

Apakah ada persamaan dengan rumus rata-rata:

m e a n = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} X_{i}

$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$

untuk median?

median definition

— Craig
sumber

16

Jika Anda menetapkan sebagai versi yang diurutkan dari data asli Anda , maka median didefinisikan sebagai: $O_1, O_2, \ldots, O_N$ $X_1, X_2, \ldots, X_N$

M e d i a n ({O_{1}, O_{2}, \dots, O_{N}}) = {\begin{cases} O_{(N + 1) / 2} & i f N i s o d d \\ (O_{N / 2} + O_{N / 2 + 1}) / 2 & o t h e r w i s e \end{cases}

$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$

Tanpa memesan data Anda, Anda dapat menggunakan definisi median geometrik untuk menentukan median dalam satu dimensi:

M e d i a n ({X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N}}) = \arg min_{y} \sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - y |

$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$

Perhatikan bahwa ini tidak serta merta menentukan median unik ketika ada beberapa titik genap; misalnya angka apa saja mengoptimalkan tujuan dengan . $y\in[3, 4]$ $X = \{2, 3, 4, 5\}$

— Josliber
sumber

3

Bentuk untuk bahkan bukan satu-satunya jawaban - hanya sebuah konvensi yang digunakan. Nilai apa pun antara dan dapat disebut "median"

N

$N$

O_{N / 2}

$O_{N/2}$

O_{N / 2 + 1}

$O_{N/2+1}$

— probabilityislogic

1

@probabilityislogic Pastinya. Saya telah menambahkan definisi median geometris, yang belum tentu unik untuk bahkan.

N

$N$

— josliber

10

Salah satu cara alternatif untuk mengekspresikan mean adalah estimasi "kuadrat terkecil":

\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - m)^{2}

$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$

Memilih untuk menjadi rata-rata memberikan nilai terkecil dari jumlah kesalahan kuadrat. $m$

Sekarang median dapat dinyatakan sebagai estimasi "penyimpangan paling tidak absolut":

\sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - m |

$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$

Memilih untuk menjadi median memberikan nilai terkecil dari jumlah kesalahan absolut. $m$

— probabilityislogic
sumber

0

Median adalah nilai yang sesuai dengan setengah kuantil, yaitu setengah dari nilai lebih tinggi, setengah lebih rendah (maafkan saya karena mengabaikan kasus dengan kesetaraan atau ketika set bahkan ...). Sedemikian rupa sehingga mengingat pdf dari kumpulan data diketahui, maka distribusi kumulatif mudah dievaluasi. Memperhatikan fungsi ini, lalu $p_X$ $X_1 \cdot X_n$ $P_X$

m e d i a n = P_{X}^{- 1} (\frac{1}{2})

$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$

Ambil contoh kasus untuk sudut dalam metode ini yang digunakan dalam makalah tinjauan ini untuk pemerataan histogram. Panel kiri bawah menunjukkan pdf dari sudut dalam satu set gambar alami. adalah distribusi kumulatif dan median adalah nilai sesuai dengan nilai , yaitu sekitar dalam kasus itu. $p(\theta)$ $P(\theta)$ $\theta$ $1/2$ $0$

— meduz
sumber